Resolució d’un problema de probabilitat condicionada

Durant la missió Dulcinea, l’equip de control classifica les alertes tècniques detectades a bord en tres sistemes: el sistema de navegació, que genera el $50\%$ de les alertes; el sistema de comunicacions, que genera el $30\%$ de les alertes, i el sistema de suport vital, que genera el $20\%$ de les alertes. A més, se sap que el $4\%$ de les alertes de navegació, el $6\%$ de les de comunicacions i el 10% de les alertes de suport vital són crítiques. Si es tria una alerta a l’atzar: a) Calcula la probabilitat que l’alerta sigui crítica. b) Sabent que l’alerta no és crítica, calcula la probabilitat que procedeixi del sistema de suport vital.

Siguin els esdeveniments:
\[
N=\text{«l’alerta prové del sistema de navegació»},
\]
\[
C=\text{«l’alerta prové del sistema de comunicacions»},
\]
\[
S=\text{«l’alerta prové del sistema de suport vital»},
\]
i
\[
K=\text{«l’alerta és crítica»}.
\]

Les dades del problema són:
\[
P(N)=0.50,\qquad
P(C)=0.30,\qquad
P(S)=0.20,
\]

\[
P(K|N)=0.04,\qquad
P(K|C)=0.06,\qquad
P(K|S)=0.10.
\]

a) Probabilitat que una alerta sigui crítica

Aplicant el teorema de la probabilitat total,

\begin{equation}
P(K)=P(K|N)P(N)+P(K|C)P(C)+P(K|S)P(S).
\end{equation}

Substituint les dades,

\begin{equation}
P(K)=0.04\cdot0.50+0.06\cdot0.30+0.10\cdot0.20.
\end{equation}

Per tant,

\begin{equation}
P(K)=0.020+0.018+0.020=0.058.
\end{equation}

Així, la probabilitat que una alerta sigui crítica és

\begin{equation}
\boxed{P(K)=0.058=5.8\%.}
\end{equation}

b) Probabilitat que procedeixi del suport vital sabent que no és crítica

Primer calculem la probabilitat que una alerta no sigui crítica:

\begin{equation}
P(K^c)=1-P(K)=1-0.058=0.942.
\end{equation}

També tenim

\begin{equation}
P(S\cap K^c)=P(K^c|S)P(S).
\end{equation}

Com que

\begin{equation}
P(K^c|S)=1-0.10=0.90,
\end{equation}

resulta

\begin{equation}
P(S\cap K^c)=0.90\cdot0.20=0.18.
\end{equation}

Aplicant ara el teorema de Bayes,

\begin{equation}
P(S|K^c)=\frac{P(S\cap K^c)}{P(K^c)}
=\frac{0.18}{0.942}
\approx0.191.
\end{equation}

Per tant,

\begin{equation}
\boxed{P(S|K^c)\approx0.191=19.1\%.}
\end{equation}