Procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt

Donats els vectors $f_1 = (1, 1, 1, 1)$, $f_2 = (3, 3, -1, -1)$ i $f_3 = (-2, 0, 6, 8)$ a l’espai $\mathbb{R}^4$, hem de comprovar si són linealment independents i aplicar el procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt.

---

1. Comprovació de la independència lineal

Els vectors són linealment independents si $c_1 f_1 + c_2 f_2 + c_3 f_3 = 0$ només es compleix quan $c_1 = c_2 = c_3 = 0$. Plantegem el sistema:

$$c_1 (1, 1, 1, 1) + c_2 (3, 3, -1, -1) + c_3 (-2, 0, 6, 8) = (0, 0, 0, 0)$$

Això dóna:

$$\begin{cases}
c_1 + 3c_2 – 2c_3 = 0 \\
c_1 + 3c_2 + 0c_3 = 0 \\
c_1 – c_2 + 6c_3 = 0 \\
c_1 – c_2 + 8c_3 = 0
\end{cases}$$

Calculem:

• De la segona equació: $c_1 + 3c_2 = 0 \implies c_1 = -3c_2$.
• Substituint $c_1 = -3c_2$ a la tercera equació: $-3c_2 – c_2 + 6c_3 = 0 \implies -4c_2 + 6c_3 = 0 \implies 6c_3 = 4c_2 \implies c_3 = \frac{2}{3}c_2$.
• Substituint $c_1 = -3c_2$, $c_3 = \frac{2}{3}c_2$ a la quarta equació: $-3c_2 – c_2 + 8 \cdot \frac{2}{3}c_2 = 0 \implies -4c_2 + \frac{16}{3}c_2 = 0 \implies \frac{4}{3}c_2 = 0 \implies c_2 = 0$.

Llavors, $c_2 = 0$, $c_1 = -3c_2 = 0$, $c_3 = \frac{2}{3}c_2 = 0$. L’única solució és $c_1 = c_2 = c_3 = 0$, per tant, els vectors són linealment independents.

---

2. Procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt

Apliquem el procés per obtenir una base ortogonal. Comencem amb $u_1 = f_1$, i després construïm $u_2$, $u_3$:

Pas 1: $u_1 = f_1$

$$u_1 = (1, 1, 1, 1)$$

Pas 2: $u_2$

$$u_2 = f_2 – \text{proj}{u_1} f_2, \quad \text{proj}{u_1} f_2 = \frac{\langle f_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1$$

• $\langle f_2, u_1 \rangle = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 3 + 3 – 1 – 1 = 4$
• $\langle u_1, u_1 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 4$
• $\text{proj}_{u_1} f_2 = \frac{4}{4} u_1 = u_1 = (1, 1, 1, 1)$

$$u_2 = f_2 – \text{proj}_{u_1} f_2 = (3, 3, -1, -1) – (1, 1, 1, 1) = (2, 2, -2, -2)$$

Pas 3: $u_3$

$$u_3 = f_3 – \text{proj}{u_1} f_3 – \text{proj}{u_2} f_3$$

• $\langle f_3, u_1 \rangle = (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = -2 + 0 + 6 + 8 = 12$
• $\text{proj}_{u_1} f_3 = \frac{12}{4} u_1 = 3 u_1 = (3, 3, 3, 3)$
• $\langle f_3, u_2 \rangle = (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 6 \cdot (-2) + 8 \cdot (-2) = -4 + 0 – 12 – 16 = -32$
• $\langle u_2, u_2 \rangle = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) = 4 + 4 + 4 + 4 = 16$
• $\text{proj}_{u_2} f_3 = \frac{-32}{16} u_2 = -2 u_2 = (-4, -4, 4, 4)$

$$u_3 = f_3 – \text{proj}{u_1} f_3 – \text{proj}{u_2} f_3 = (-2, 0, 6, 8) – (3, 3, 3, 3) – (-4, -4, 4, 4)$$

$$(-2, 0, 6, 8) – (3, 3, 3, 3) = (-5, -3, 3, 5)$$

$$(-5, -3, 3, 5) – (-4, -4, 4, 4) = (-1, 1, -1, 1)$$

Per tant, $u_3 = (-1, 1, -1, 1)$.

---

3. Base ortogonal final

Hem obtingut els vectors ortogonals:

$$u_1 = (1, 1, 1, 1), \quad u_2 = (2, 2, -2, -2), \quad u_3 = (-1, 1, -1, 1)$$

Comprovem l’ortogonalitat:

• $\langle u_1, u_2 \rangle = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) = 2 + 2 – 2 – 2 = 0$
• $\langle u_1, u_3 \rangle = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -1 + 1 – 1 + 1 = 0$
• $\langle u_2, u_3 \rangle = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = -2 + 2 + 2 – 2 = 0$

Tots els productes escalars són 0, per tant, els vectors són ortogonals.

---

Resposta final

1. Els vectors $f_1$, $f_2$, $f_3$ són linealment independents.
2. La base ortogonal obtinguda amb el procés de Gram-Schmidt és:

$$u_1 = (1, 1, 1, 1), \quad u_2 = (2, 2, -2, -2), \quad u_3 = (-1, 1, -1, 1)$$