Problema de Dinàmica Rotacional: Augment de la Velocitat Angular

Una pastilla de massa \( m \) efectua una trajectòria circular amb velocitat angular \( \omega \), lligada a una corda de longitud \( \ell \). L’altre extrem de la corda està fixat a un passador que pot girar sense fricció al voltant d’un eix vertical, situat a una alçada \( h = \ell/2 \). Si augmentem l’alçada \( h \) en \( \Delta h = h/5 \), quin serà l’augment \( \Delta \omega \) de la velocitat angular?

Per resoldre aquest problema, analitzem el sistema utilitzant la conservació del moment angular i les forces implicades en el moviment circular.

Pas 1: Configuració inicial. La corda, de longitud \( \ell \), forma un angle \( \theta \) amb la vertical, amb l’extrem fix a una alçada \( h = \ell/2 \). La massa \( m \) es mou en un cercle horitzontal. La component vertical de la corda és:\[\ell \cos \theta = h = \frac{\ell}{2} \implies \cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ.\]El radi \( r \) de la trajectòria circular és:\[r = \ell \sin \theta = \ell \sin 60^\circ = \ell \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \ell}{2}.\]

Pas 2: Dinàmica inicial. La força centrípeta és proporcionada per la component horitzontal de la tensió \( T \):\[T \sin \theta = m r \omega^2 = m \cdot \frac{\sqrt{3} \ell}{2} \cdot \omega^2.\]En l’eix vertical, l’equilibri de forces dona:\[T \cos \theta = m g \implies T \cdot \frac{1}{2} = m g \implies T = 2 m g.\]Substituïm \( T = 2 m g \) i \( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) en l’equació centrípeta:\[2 m g \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = m \cdot \frac{\sqrt{3} \ell}{2} \cdot \omega^2 \implies m g \sqrt{3} = m \cdot \frac{\sqrt{3} \ell}{2} \cdot \omega^2.\]Simplifiquem:\[\omega^2 = \frac{2 g}{\ell} \implies \omega = \sqrt{\frac{2 g}{\ell}}.\]

Pas 3: Canvi en l’alçada. Augmentem l’alçada en \( \Delta h = h/5 = (\ell/2)/5 = \ell/10 \). La nova alçada és:\[h’ = \frac{\ell}{2} + \frac{\ell}{10} = \frac{3 \ell}{5}.\]El nou angle \( \theta’ \) es calcula com:\[\ell \cos \theta’ = \frac{3 \ell}{5} \implies \cos \theta’ = \frac{3}{5}.\]\[\sin \theta’ = \sqrt{1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.\]El nou radi és:\[r’ = \ell \sin \theta’ = \ell \cdot \frac{4}{5} = \frac{4 \ell}{5}.\]

Pas 4: Conservació del moment angular. El moment angular es conserva (\( L = L’ \)). Inicialment:\[L = m r^2 \omega = m \left( \frac{\sqrt{3} \ell}{2} \right)^2 \omega = m \cdot \frac{3 \ell^2}{4} \cdot \omega.\]Després del canvi:\[L’ = m r’^2 \omega’ = m \left( \frac{4 \ell}{5} \right)^2 \omega’ = m \cdot \frac{16 \ell^2}{25} \cdot \omega’.\]Igualem \( L = L’ \):\[m \cdot \frac{3 \ell^2}{4} \cdot \omega = m \cdot \frac{16 \ell^2}{25} \cdot \omega’ \implies \omega’ = \omega \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{25}{16} = \omega \cdot \frac{75}{64}.\]

Pas 5: Augment \( \Delta \omega \)\[\Delta \omega = \omega’ – \omega = \omega \left( \frac{75}{64} – 1 \right) = \omega \cdot \frac{11}{64}.\]Substituïm \( \omega = \sqrt{\frac{2 g}{\ell}} \):\[\Delta \omega = \frac{11}{64} \cdot \sqrt{\frac{2 g}{\ell}}.\]

Resposta final: \[\Delta \omega = \frac{11}{64} \sqrt{\frac{2 g}{\ell}}.\]