Posició relativa recta i pla

Determina la posició relativa de la recta \[ r: (x, y, z) = (2, -1, 0) + k(1, 2, 1) \] i el pla \[ \pi: (x, y, z) = (5, 0, 0) + l(3, 0, 1) + m(4, -1, 1) \]

Per determinar la posició relativa entre la recta $r$ i el pla $\pi$, considerem la matriu les columnes de la qual són les components dels tres vectors directors (dos del pla i un de la recta) i trobem el seu rang:

\[ M = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

Calculem el seu determinant: \[ \det(M) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

Desplegant per la primera fila: \[ \det(M) = 1 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ = 1(0 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) – 3(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) + 4(2 \cdot 1 – 0 \cdot 1) \]

\[ = 1(0 + 1) – 3(2 + 1) + 4(2 – 0) = 1 – 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 1 – 9 + 8 = 0 \]

Com que $\det(M) = 0$, el rang de $M$ és $2$. Això implica que els tres vectors són coplanaris, per la qual cosa la recta estarà continguda en el pla o serà paral·lela al pla.

Per determinar quin dels dos casos ens trobem, agafem un punt de la recta $P = (2, -1, 0)$ i comprovem si pertany al pla $\pi$.

Substituint $P$ en l’equació del pla: \[ \begin{cases} 2 = 5 + 3l + 4m \\ -1 = 0 + 0 \cdot l + (-1)m \implies -1 = -m \implies m = 1 \\ 0 = 0 + 1 \cdot l + 1 \cdot m \implies 0 = l + m \end{cases} \]

De la segona equació: $m = 1$

De la tercera equació: $0 = l + 1 \implies l = -1$

Ara comprovem la primera equació: \[ 2 \stackrel{?}{=} 5 + 3(-1) + 4(1) = 5 – 3 + 4 = 6 \neq 2 \]

Com que la primera equació no es compleix, el punt $P$ no pertany al pla $\pi$.

$\textbf{Conclusió:}$ Com que el rang és $2$ (la recta és paral·lela al pla) i cap punt de la recta pertany al pla, la recta $r$ i el pla $\pi$ són $\textbf{paral·lels}$.