Optimització dels costos de manteniment d’una presa

S’ha construït una presa d’emmagatzematge d’aigua els costos de manteniment diaris de la qual són una funció de la quantitat d’aigua que té emmagatzemada. Aquests costos venen donats per l’expressió

\begin{equation}
C(x)=x^3+x^2-8x+73,
\end{equation}

on (C(x)) representa el cost de manteniment, en euros, i $x$ representa el volum d’aigua emmagatzemada, en milions de $\mathrm{m^3}$.

a) Trobeu el volum diari d’aigua òptim que cal mantenir per minimitzar els costos.

b) Calculeu el cost mínim diari que suposa el manteniment de la instal·lació. Si un dia la presa té emmagatzemats $3$ milions de metres cúbics d’aigua, quant s’ha gastat de més respecte del cost mínim?

---

a) Volum d’aigua òptim

Cal trobar el mínim de la funció de costos

\begin{equation}
C(x)=x^3+x^2-8x+73.
\end{equation}

Per determinar els possibles extrems, calculem la derivada i l’igualem a zero:

\begin{equation}
C'(x)=3x^2+2x-8.
\end{equation}

Per tant,

\begin{equation}
3x^2+2x-8=0.
\end{equation}

Factoritzant:

\begin{equation}
(3x-4)(x+2)=0.
\end{equation}

Així, els punts crítics són

\begin{equation}
x=\frac{4}{3}
\qquad\text{i}\qquad
x=-2.
\end{equation}

Com que (x) representa un volum d’aigua, només té sentit considerar (x\geq0). Per tant, descartem la solució (x=-2).

Estudiem ara el signe de la derivada al voltant de (x=\frac{4}{3}):

\begin{equation}
C'(1)=3+2-8=-3<0
\end{equation}

i

\begin{equation}
C'(2)=12+4-8=8>0.
\end{equation}

Per tant, la funció (C(x)) és decreixent abans de (x=\frac43) i creixent després d’aquest valor. En conseqüència, (x=\frac43) correspon a un mínim.

Així, el volum òptim d’aigua que cal mantenir és

\begin{equation}
\boxed{x=\frac43\approx1,33\ \text{milions de }\mathrm{m^3}}.
\end{equation}

b) Cost mínim i cost addicional per a 3 milions de $\mathrm{m^3}$

Calculem el cost corresponent al volum òptim:

\begin{equation}
C\left(\frac43\right)
=\left(\frac43\right)^3
+\left(\frac43\right)^2
-8\left(\frac43\right)+73.
\end{equation}

\begin{equation}
C\left(\frac43\right)
=\frac{64}{27}+\frac{16}{9}-\frac{32}{3}+73.
\end{equation}

Reduint a un denominador comú:

\begin{equation}
C\left(\frac43\right)
=\frac{64+48-288+1971}{27}
=\frac{1795}{27}
\approx66,48\ \text{€}.
\end{equation}

Per tant, el cost mínim diari és

\begin{equation}
\boxed{C_{\min}\approx66,48\ \text{€}}.
\end{equation}

Si la presa té emmagatzemats (3) milions de (\mathrm{m^3}), el cost de manteniment és

\begin{equation}
C(3)=3^3+3^2-8\cdot3+73.
\end{equation}

\begin{equation}
C(3)=27+9-24+73=85\ \text{€}.
\end{equation}

Per tant, la despesa addicional respecte del cost mínim és

\begin{equation}
85-66,48=18,52\ \text{€}.
\end{equation}

Així,

\begin{equation}
\boxed{18,52\ \text{€}}
\end{equation}

és el que s’ha gastat de més respecte del cost mínim.

Resultats

\begin{equation}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{a) }&x=\frac43\approx1,33\ \text{milions de }\mathrm{m^3}.\\
\text{b) }&C_{\min}\approx66,48\ \text{€},\\
&\text{despesa addicional amb }3\text{ milions de }\mathrm{m^3}
=18,52\ \text{€}.
\end{aligned}}
\end{equation}