Intersecció de Plans i Distància d’un Punt a una Recta en $R^3$

a) Trobar les equacions paramètriques de la recta \( r \) donada per la intersecció dels plans \( \pi_1: x + y – z – 1 = 0 \) i \( \pi_2: 2x – y + z = 0 \). b) Calcular la distància del punt \( (1, 0, 1) \) a aquesta recta.

a) Parametrització de la recta \( r \) Per trobar la recta \( r \) que resulta de la intersecció dels plans \( \pi_1 \) i \( \pi_2 \), hem de resoldre el sistema d’equacions:\[\begin{cases}x + y – z – 1 = 0 \\2x – y + z = 0\end{cases}\]Sumem les dues equacions per eliminar \( y \) i \( z \):\[(x + y – z – 1) + (2x – y + z) = 0 \implies 3x – 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}\]Substituïm \( x = \frac{1}{3} \) a la segona equació \( 2x – y + z = 0 \):\[2 \cdot \frac{1}{3} – y + z = 0 \implies \frac{2}{3} – y + z = 0 \implies y – z = \frac{2}{3}\]Aïllem \( y \):\[y = z + \frac{2}{3}\]Substituïm \( y = z + \frac{2}{3} \) a la primera equació \( x + y – z – 1 = 0 \):\[\frac{1}{3} + (z + \frac{2}{3}) – z – 1 = 0 \implies \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + z – z – 1 = 0 \implies 1 – 1 = 0\] Aquesta equació és una identitat, cosa que indica que hem fet bé els càlculs. Ara parametritzem la recta prenent \( z \) com a paràmetre lliure. Sigui \( z = s \), llavors:\[y = s + \frac{2}{3}, \quad x = \frac{1}{3}\]Per tant, un punt de la recta és \( Q\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right) \) (quan \( s = 0 \)) i les equacions paramètriques de la recta són:\[r: \begin{cases}x = \frac{1}{3} \\y = \frac{2}{3} + s \\z = s\end{cases}\]Per trobar el vector director \( \vec{v} \), observem els coeficients de \( s \): \( \vec{v} = (0, 1, 1) \). Així, la recta també es pot escriure com:\[r: Q\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right), \quad \vec{v} = (0, 1, 1)\]

b) Distància del punt \( P(1, 0, 1) \) a la recta \( r \) La fórmula de la distància d’un punt \( P \) a una recta \( r \) amb punt \( Q \) i vector director \( \vec{v} \) és:\[d(P, r) = \frac{|\overrightarrow{PQ} \wedge \vec{v}|}{|\vec{v}|}\]

– Vector \( \overrightarrow{PQ} \): \( P(1, 0, 1) \), \( Q\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right) \), llavors:\[\overrightarrow{PQ} = \left(\frac{1}{3} – 1, \frac{2}{3} – 0, 0 – 1\right) = \left(\frac{1}{3} – 1, \frac{2}{3}, -1\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -1\right)\]

– Vector director \( \vec{v} \): \( \vec{v} = (0, 1, 1) \)

– Producte vectorial \( \overrightarrow{PQ} \wedge \vec{v} \): Calculem:\[\overrightarrow{PQ} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\-\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -1 \\0 & 1 & 1\end{vmatrix}\]\[= \vec{i} \left( \frac{2}{3} \cdot 1 – (-1) \cdot 1 \right) – \vec{j} \left( -\frac{2}{3} \cdot 1 – (-1) \cdot 0 \right) + \vec{k} \left( -\frac{2}{3} \cdot 1 – \frac{2}{3} \cdot 0 \right)\]

– Component \( \vec{i} \): \( \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3} \)

– Component \( \vec{j} \): \( -\left(-\frac{2}{3} – 0\right) = \frac{2}{3} \)

– Component \( \vec{k} \): \( -\frac{2}{3} – 0 = -\frac{2}{3} \)Així:\[\overrightarrow{PQ} \wedge \vec{v} = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right)\]

– Mòdul de \( \overrightarrow{PQ} \wedge \vec{v} \): \[|\overrightarrow{PQ} \wedge \vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{33}{9}} = \sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{99}}{3} = \frac{3\sqrt{11}}{3} = \sqrt{11}\]

– Mòdul de \( \vec{v} \):\[|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]

– Distància \( d(P, r) \):\[d(P, r) = \frac{|\overrightarrow{PQ} \wedge \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2}\]Aquest resultat coincideix amb el valor donat (\( 1.354 \), ja que \( \sqrt{\frac{11}{2}} \approx 1.354 \)).