Equacions rectes i plans

Donats els punts $P(-1,2,1)$, $Q(0,1,3)$ i la recta $r$ d’equació $$3x = y+2 = 2z,$$ es demana: a) Donar equacions paramètriques d’una recta paral·lela a $r$ que passi per $P$. b) Trobar l’equació implícita del pla que conté $P$ i $Q$ i és paral·lel a $r$. c) Trobar l’equació implícita del pla que conté la recta $r$ i el punt $Q$.

Observem la forma $3x=y+2=2z=t$ (paràmetre $t$). D’aquesta igualtat es pot parametritzar la recta $r$ com
$$x=\frac{t}{3},\qquad y=t-2,\qquad z=\frac{t}{2}.$$
Per tant un vector direcció de $r$ és proporcional a
$$\vec d=\Big(\tfrac13,1,\tfrac12\Big)\sim(2,6,3).$$

$\textbf{(a) Recta paral·lela a (r) que passa per (P).}$

Prenent la direcció $\vec d=(2,6,3)$ i el punt $P(-1,2,1)$, una parametrització de la recta buscada és
$$\boxed{\;x=-1+2t,\qquad y=2+6t,\qquad z=1+3t\quad (t\in\mathbb{R})\; }.$$

$\textbf{(b) Pla que conté (P) i (Q) i és paral·lel a (r).}$

Al pla hi ha el vector $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0-(-1),\,1-2,\,3-1)=(1,-1,2)$ i també la direcció $\vec d=(2,6,3)$. Per trobar un vector normal fem el producte vectorial:
$$\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\vec d
=(1,-1,2)\times(2,6,3)=(-15,\,1,\,8).$$
(Detall del càlcul: $n_1=(-1)\cdot3-2\cdot6=-15,\; n_2=2\cdot2-1\cdot3=1,\; n_3=1\cdot6-(-1)\cdot2=8).$

L’equació punt-normal amb el punt $P(-1,2,1)$ és
$$-15(x+1)+1(y-2)+8(z-1)=0,$$
que és equivalent a
$$\boxed{\;-15x+y+8z=25\; }.$$
Comprovació amb $Q$: $-15\cdot0+1\cdot1+8\cdot3=1+24=25$, OK.

$\textbf{(c) Pla que conté la recta (r) i el punt (Q).}$

Prenem un punt $R$ qualsevol de la recta $r$. Per exemple per $t=0$ obtenim
$$R=(0,-2,0).$$
Al pla hi ha la direcció de $r$, $\vec d=(2,6,3)$, i el vector $\overrightarrow{RQ}=Q-R=(0,1-(-2),\,3-0)=(0,3,3)$. Un vector normal és
$$\vec n=\vec d\times\overrightarrow{RQ}=(2,6,3)\times(0,3,3)=(9,-6,6),$$
que es pot simplificar a $(3,-2,2)$.

Amb el punt $R(0,-2,0)$ l’equació punt-normal és
$$3(x-0)-2(y+2)+2(z-0)=0,$$
que es pot escriure com
$$\boxed{\;3x-2y+2z=4\; }.$$
Comprovació amb $Q(0,1,3)$: $3\cdot0-2\cdot1+2\cdot3=-2+6=4$, OK.

$\textbf{Resum de les respostes}$

• (a) Recta paral·lela a $r$ per $P$: $x=-1+2t,\; y=2+6t,\; z=1+3t.$
• (b) Pla que conté $P,Q$ i és paral·lel a $r$: $-15x+y+8z=25.$
• (c) Pla que conté $r$ i $Q$: $3x-2y+2z=4.$