Equació matricial

Hem de trobar la matriu \( X \) que compleixi l’equació \( AXB = C \), on:\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\]

Pas 1: Analitzem les dimensions

• \( A \) és una matriu \( 2 \times 2 \).

• \( B \) és una matriu \( 3 \times 3 \).

• \( C \) és una matriu \( 2 \times 3 \).Perquè l’equació \( AXB = C \) tingui sentit, \( X \) ha de ser una matriu \( m \times n \). La multiplicació \( AXB \) implica:- \( A \) (de dimensió \( 2 \times 2 \)) es multiplica per \( X \), per tant \( X \) ha de tenir 2 columnes (és a dir, \( X \) és \( m \times 2 \)).

• El resultat \( AX \) (de dimensió \( 2 \times n \)) es multiplica per \( B \) (de dimensió \( 3 \times 3 \)), per tant \( n = 3 \).

• Finalment, \( AXB \) ha de ser \( 2 \times 3 \), igual que \( C \).Així, \( X \) ha de ser una matriu \( 2 \times 3 \).

Pas 2: Plantegem l’equació. L’equació és:\[A X B = C\]Per resoldre per \( X \), necessitem aïllar \( X \). Això es pot fer multiplicant per les inverses de \( A \) i \( B \):\[X = A^{-1} C B^{-1}\]- \( A^{-1} \) és la inversa de \( A \).- \( B^{-1} \) és la inversa de \( B \).

Pas 3: Calculem la inversa de \( A \). La matriu \( A \) és:\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\] El determinant de \( A \) és:\[\det(A) = (1)(1) – (0)(-1) = 1\] La inversa d’una matriu \( 2 \times 2 \) \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) és:\[\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]Per tant:\[A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Pas 4: Calculem la inversa de \( B \). La matriu \( B \) és:\[B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\] Calculem el determinant de \( B \):\[\det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} – 0 + 0\]\[\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(2) – (-1)(1) = -2 + 1 = -1\]\[\det(B) = 1 \cdot (-1) = -1\]Ara calculem la matriu adjunta de \( B \). Els cofactors són:

• \( C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \)

• \( C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(0) = 0 \)

• \( C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)

• \( C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(0) = 0 \)

• \( C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \)

• \( C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1) = -1 \)

• \( C_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \)

• \( C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1 \)

• \( C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \)La matriu de cofactors és:\[\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]La matriu adjunta és la transposada:\[\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\]La inversa és:\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Pas 5: Calculem \( A^{-1} C \) \[A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\]\[A^{-1} C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\]

• Primera fila: \( (1 \cdot 3 + 0 \cdot 0, 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1, 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-2)) = (3, 1, 2) \)

• Segona fila: \( (1 \cdot 3 + 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)) = (3, 2, 0) \)\[A^{-1} C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}\]

Pas 6: Calculem \( (A^{-1} C) B^{-1} \) \[A^{-1} C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]\[X = (A^{-1} C) B^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

• Primera fila: \( (3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0, 3 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1, 3 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1) = (3, 0, 1) \)

• Segona fila: \( (3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 0, 3 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 1, 3 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1) = (3, -4, -2) \)\[X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2 \end{pmatrix}\]

Pas 7: Verifiquem. Per assegurar-nos, calculem \( AXB \) i comprovem si és igual a \( C \):\[X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2 \end{pmatrix}\]\[AX = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & -3 \end{pmatrix}\]\[AXB = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = C\] La verificació és correcta.

Resposta final: \[X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2 \end{pmatrix}\]