Càlcul de la Intensitat d’un So Emes per una Font Puntual

Una font aproximadament puntual emet un so amb una potència de \( 10^{-3} \, \text{W} \). La freqüència del so és tal que, per a les condicions ambientals particulars del problema, el valor del coeficient d’atenuació \( \alpha \) és \( 0.005 \, \text{m}^{-1} \). Quina és la intensitat del so a $1$ metre, a $10$ metres i a $1$ quilòmetre?

Dades:

• Potència de la font: \( P = 10^{-3} \, \text{W} = 0.001 \, \text{W} \).

• Coeficient d’atenuació: \( \alpha = 0.005 \, \text{m}^{-1} \).

• Distàncies: \( r_1 = 1 \, \text{m} \), \( r_2 = 10 \, \text{m} \), \( r_3 = 1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m} \).

Anàlisi: La intensitat \( I \) del so a una distància \( r \) d’una font puntual, sense atenuació, es calcula com:\[I_0 = \frac{P}{4 \pi r^2}\]No obstant això, el so es veu atenuat per l’absorció ambiental, que segueix la llei exponencial:\[I = I_0 e^{-\alpha r}\]On:- \( I_0 \) és la intensitat sense atenuació,- \( \alpha \) és el coeficient d’atenuació,- \( r \) és la distància.Substituïm \( I_0 \):\[I = \frac{P}{4 \pi r^2} e^{-\alpha r}\]

Càlculs:

a) Intensitat a \( r = 1 \, \text{m} \)\[I_0 = \frac{0.001}{4 \pi (1)^2} = \frac{0.001}{4 \pi} \approx \frac{0.001}{12.566} \approx 7.957 \times 10^{-5} \, \text{W/m}^2\]Atenuació:\[e^{-\alpha r} = e^{-0.005 \cdot 1} = e^{-0.005} \approx 0.995\]\[I = 7.957 \times 10^{-5} \cdot 0.995 \approx 7.917 \times 10^{-5} \, \text{W/m}^2\]

Resposta: \[I(1 \, \text{m}) \approx 7.92 \times 10^{-5} \, \text{W/m}^2\]

b) Intensitat a \( r = 10 \, \text{m} \)\[I_0 = \frac{0.001}{4 \pi (10)^2} = \frac{0.001}{4 \pi \cdot 100} = \frac{0.001}{1256.637} \approx 7.957 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2\]Atenuació:\[e^{-\alpha r} = e^{-0.005 \cdot 10} = e^{-0.05} \approx 0.951\]\[I = 7.957 \times 10^{-7} \cdot 0.951 \approx 7.567 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2\]

Resposta:\[I(10 \, \text{m}) \approx 7.57 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2\]

c) Intensitat a \( r = 1000 \, \text{m} \)\[I_0 = \frac{0.001}{4 \pi (1000)^2} = \frac{0.001}{4 \pi \cdot 10^6} = \frac{0.001}{1.256637 \times 10^7} \approx 7.957 \times 10^{-11} \, \text{W/m}^2\]Atenuació:\[e^{-\alpha r} = e^{-0.005 \cdot 1000} = e^{-5} \approx 0.006738\]\[I = 7.957 \times 10^{-11} \cdot 0.006738 \approx 5.362 \times 10^{-13} \, \text{W/m}^2\]

Resposta:\[I(1000 \, \text{m}) \approx 5.36 \times 10^{-13} \, \text{W/m}^2\]

Resum final:

• Intensitat a 1 m: \( \boxed{7.92 \times 10^{-5} \, \text{W/m}^2} \).

• Intensitat a 10 m: \( \boxed{7.57 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2} \).

• Intensitat a 1 km: \( \boxed{5.36 \times 10^{-13} \, \text{W/m}^2} \).