Anàlisi de l’Orbita de Júpiter i Càlcul de la Massa del Sol

La llum del Sol triga $8$ minuts i $20$ segons a arribar a la Terra, i $43$ minuts i $20$ segons a arribar a Júpiter. Suposant que les òrbites són circulars, calcula:

a) El període orbital de Júpiter al voltant del Sol.
b) La velocitat orbital de Júpiter.
c) La massa del Sol.

Dades:

• Període de la Terra al voltant del Sol: $T_{\text{Terra}} = 3{,}15 \cdot 10^7 \, \text{s}$
• Velocitat de la llum: $c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$
• Constant de gravitació universal: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$

---

Dades donades:

• Temps llum del Sol a la Terra:
  $t_{\text{Terra}} = 8 \, \text{min} + 20 \, \text{s} = 500 \, \text{s}$
• Temps llum del Sol a Júpiter:
  $t_{\text{Júpiter}} = 43 \, \text{min} + 20 \, \text{s} = 2600 \, \text{s}$
• Velocitat de la llum:
  $c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$
• Període orbital de la Terra:
  $T_T = 3.15 \cdot 10^7 \, \text{s}$
• Constant de gravitació:
  $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$

---

1) Distància al Sol (radis orbitals)

Sabem que la llum recorre una distància $r = c \cdot t$, per tant:

• $r_T = c \cdot t_{\text{Terra}} = 3 \cdot 10^8 \cdot 500 = 1.5 \cdot 10^{11} \, \text{m}$
• $r_J = c \cdot t_{\text{Júpiter}} = 3 \cdot 10^8 \cdot 2600 = 7.8 \cdot 10^{11} \, \text{m}$

---

a) Període de Júpiter al voltant del Sol

Fem servir la tercera llei de Kepler: $$\left(\frac{T_J}{T_T} \right)^2 = \left( \frac{r_J}{r_T} \right)^3$$

Substituïm: $$\left(\frac{T_J}{3.15 \cdot 10^7} \right)^2 = \left( \frac{7.8 \cdot 10^{11}}{1.5 \cdot 10^{11}} \right)^3 = \left(5.2\right)^3 = 140.608$$ $$\frac{T_J}{3.15 \cdot 10^7} = \sqrt{140.608} \approx 11.86 \Rightarrow T_J = 11.86 \cdot 3.15 \cdot 10^7 \approx 3.7359 \cdot 10^8 \, \text{s}$$

Resposta (a):
El període orbital de Júpiter és aproximadament $T_J \approx 3.74 \cdot 10^8 \, \text{s} \approx 11.86 \, \text{anys}$

---

b) Velocitat orbital de Júpiter

La velocitat orbital $v$ per una òrbita circular és: $$v = \frac{2\pi r}{T}$$ $$v_J = \frac{2\pi \cdot 7.8 \cdot 10^{11}}{3.74 \cdot 10^8} \approx 1.31 \cdot 10^4 \, \text{m/s}$$

Resposta (b):
La velocitat orbital de Júpiter és $v_J \approx 1.31 \cdot 10^4 \, \text{m/s}$

---

c) Massa del Sol

Utilitzem la fórmula de la força centrípeta i gravitació universal: $$G\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow GM = rv^2 \Rightarrow M = \frac{rv^2}{G}$$

Substituïm:$$M = \frac{7.8 \cdot 10^{11} \cdot (1.31 \cdot 10^4)^2}{6.67 \cdot 10^{-11}}$$

Calculant:

• $v^2 = (1.31 \cdot 10^4)^2 \approx 1.7161 \cdot 10^8$
• $rv^2 \approx 7.8 \cdot 10^{11} \cdot 1.7161 \cdot 10^8 \approx 1.3386 \cdot 10^{20}$

$$M \approx \frac{1.3386 \cdot 10^{20}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \approx 2.007 \cdot 10^{30} \, \text{kg}$$

Resposta (c):
La massa del Sol és $M \approx 2.01 \cdot 10^{30} \, \text{kg}$

---

✅ Resum

Magnitud	Valor aproximat
a) Període orbital de Júpiter	$3.74 \cdot 10^8 \, \text{s}$ o 11.86 anys
b) Velocitat orbital de Júpiter	$1.31 \cdot 10^4 \, \text{m/s}$
c) Massa del Sol	$2.01 \cdot 10^{30} \, \text{kg}$