LEMNISCATA
Matemàtiques
Categoria: General
Categoria: General
Càlcul angle entre dos plans
Per calcular l’angle entre dos plans en l’espai, primerament has de trobar el vector normal de cadascun dels plans. A continuació, pots utilitzar la fórmula de l’angle entre dos vectors per trobar l’angle entre els vectors normals. La fórmula de l’angle entre dos vectors és: $$\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$$ On $a$ i
Read MoreCàlcul angle entre dues rectes
Calcula l’angle que formen les rectes $r$ i $s$, i les equacions són les següents: $$r\equiv\frac{x+2}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-3}{2}; s \equiv \left\{\begin{array}{l } x=4-3t \\y=-2+t \\z=1+t \end{array}\right.$$ Per trobar l’angle entre dues rectes només cal determinar l’angle que formen els vectors directors.Farem servir el producte escalar per determinar l’angle entre dos vectors Vector director
Read MoreMatriu inversa
Calcula la matriu inversa de: $$A= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 2\\ 1 & -1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Primer de tot haurem de comprovar si la matriu és invertible. Això vol dir essencialment que el determinant és diferent de zero: $$|A|=\begin{vmatrix}3 & 5 & 2\\1 & -1 & -1\\2 &
Read MoreExamen selectivitat Catalunya. Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 5
Siguin $r$ i $s$ les rectes de $\mathbb{R}^3$ d’equacions $\displaystyle r:\frac{x-2}{3}=y=\frac{z+1}{4}$ i $s: \left( x,y,z \right) = \left(1+2\alpha,3-\alpha,4+3\alpha \right)$, amb $\alpha \in \mathbb{R}$ Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un extrem situat sobre la recta $r$ i l’altre extrem situat sobre la recta $s$ formen un pla. Si fem servir les equacions
Read MoreExamen selectivitat Catalunya. Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 2
Considereu el punt $A=\left( 1,2,3 \right)$. Calculeu el punt simètric del punt $A$ respecte de la recta d’equació. $$r:\left( x,y,z \right)=\left( 3+\lambda,1,3-\lambda \right)$$ 1r pas: Busquem l’equació del pla $\pi’$ que passa pel punt $A$ i que és perpendicular a $r$. Com a vector normal podem fer servir el vector director de r, és a dir
Read MoreIntegral impròpia
Una integral impròpia en format es pot escriure de la següent manera: $$\int_{a}^{b} f(x) dx$$ On $a$ i $b$ són els límits d’integració i $f(x)$ és la funció que es vol integrar. Per exemple, la integral impròpia següent: $$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$$ Per calcular aquesta integral, haurem de fer servir la fórmula general per a integrar
Read MoreProblema d’optimització. Resistència de flexió.
La resistència de flexió d’una biga de secció rectangular és directament proporcional a la base i directament proporcional, també, al quadrat de l’altura d’aquesta secció. Calcula les dimensions que ha de tenir la secció rectangular d’una biga fabricada a partir del tronc cilíndric d’un arbre que fa un metre de diàmetre per tal que tingui
Read MorePROBLEMA 5 EXAMEN SELECTIVITAT JUNY 2015
Una cèl·lula fotoelèctrica és il·luminada amb llum blava de 4750 Å. La freqüència llindar de la cèl·lula és de $4.75\cdot10^{14}$ Hz. Calculeu: a) L’energia dels fotons incidents i el treball d’extracció característic del metall de la cèl·lula. $\lambda =4750\ Å\cdot\frac{10^{-10}\ m}{1\ Å }= 4.75\cdot10^{-7}\ m$ $f= \frac{c}{\lambda}=\frac{3.00\cdot10^8}{4.75\cdot10^{-7}} = 6.32\cdot10^{14}$ Hz $E = hf = 4.19\cdot^{-19}$ J
Read MoreProblema geometria. Posició relativa i distància
Considereu la recta $\displaystyle r: \; \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=z-a$ i el pla $\pi: \; 2x+y-5z=5$. El vector director de la recta és $v_r = (3, −1, 1)$; el punt $P = (1, −2, a)$ pertany a la recta $r$. Per altra banda, el vector normal del pla $\pi$ és $v_π = (2, 1, −5)$. Comprovem si $v_r$
Read MoreIntegrals irracionals
Calcula la integral $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx$$ En aquest cas, és una integral racional. Factoritzarem el denominador i descompondrem la fracció en fraccions simples. Com$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2$ tenim: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}=$$$$=\frac{A(x-2)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}$$ Donem ara valors per a $x$ al numerador: Si $x=2$, llavors $-1=C$. Si $x=1$, llavors $-1=A$. Si $x=0$, llavors $1=4A+2B-C\Rightarrow1=-4+2B+1\Rightarrow B=2$.Per tant: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{-1}{(x-2)^2}$$D’aquesta manera: $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx=\int\frac{-1}{x-1}dx+\int\frac{2}{x-2}dx+\int\frac{-1}{(x-2)^2}dx=$$$$=\boxed{-\ln(x-1)+2\ln(x-2)+\frac{1}{x-2}+C}$$
Read More