LEMNISCATA
Matemàtiques
Categoria: General
Categoria: General
PROBLEMA 5 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Calcule lo siguient limite: $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)$$ $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=1^{\infty}$$Clamamos $L$ a lo limite que nos piden. Aplicando logaritmos: $$\displaystyle\begin{align} \ln L=\ln\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\lim_{x\rightarrow0^+}\ln\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{x^3}\cdot\ln(1+x-\text{sen}(x))=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}=\dfrac00\end{align}$$Resolvemos esta indeterminación aplicando la regla de L’Hôpital: $$\displaystyle\begin{align}\ln L=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac{1-\cos(x)}{1+x-\text{sen}(x)}}{3x^2}=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1-\cos(x)}{3x^2+3x^3-3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\text{sen}(x)}{6x+9x^2-6x\text{sen}(x)-3x^2\cos(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\cos(x)}{6+18x-6\text{sen}(x)-6x\cos(x)-6x\cos(x)+3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac16\end{align}$$Dimpués, si $\ln L=\frac16$ alavez: $$\boxed{L=y^{1/6}}$$
Read MorePROBLEMA 6 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Se considera la siguient función: $f(x)=\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}$. Estudeye la existencia de asíntotas verticals, horizontals y obliquas y las calcule quan existan. Prencipiamos calculando lo dominio de $f$: $$1-y^{-x}=0~;\ y^{-x}=1~;\ -x=\ln 1~;\ x=0$$Lo dominio de $f$ ye $\mathbb R\setminus{0}$.Calculamos si existe asíntota vertical en $x=0$ (utilizamos la regla de L’Hôpital pa resolver las indeterminacions $0/0$ y $\infty/\infty$):
Read MorePROBLEMA 7 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Se considera la siguient función $f(x)=\ln(2x+1)$. a) Estudeye lo suyo dominio, asinas como los suyos intervalos de creiximiento y decreiximiento.b) Trobe la equación d’a dreita tangente a f en o punto de abscisa $x=\frac{1}{2}$. a) Lo dominio de $f$ ye lo conchunto de totz los numeros reals tals que: $$2x+1>0~;\\2x>-1~;\\x>\dfrac{-1}2$$Ye decir, $\text{Dom }(f)=(\frac{-1}2,+\infty)$.Estudiamos la monotonía
Read MorePROBLEMA 8 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Calcule la siguient integral: $$\displaystyle\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx$$. Femos un cambio de variable: $$x=t^2\rightarrow dx=2t~dt$$Sía I la integral a resolver: $$\displaystyle I=\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx=\int\left(\sqrt{t^2}\cdot\ln^2t^2\right)2t~dt=\int2t^2\ln^2t^2~dt$$Utilizamos lo metodo d’integración per partes: $$\begin{array}{lcl}u=\ln^2t^2&\rightarrow&du=2\ln t^2\cdot\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac{4\ln t^2}t\\ dv=2t^2~dx&\rightarrow&v=\dfrac{2t^3}3\end{array}$$$$\displaystyle I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\int\dfrac{2t^3}3\dfrac{4\ln t^2}t~dt=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\underbrace{\int\dfrac{8t^2\ln t^2}3~dt}_{I_1}\qquad(1)$$Utilizamos lo metodo d’integración per partes pa calcular la integral $I_1$: $$\begin{array}{lcl}u=\ln t^2&\rightarrow&du=\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac2t\\ dv=\dfrac{8t^2}3~dt&\rightarrow&v=\dfrac{8t^3}9\end{array}$$$$\displaystyle I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{8t^3}9\dfrac2t~dt=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{16t^2}9~dt~;\\I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1$$Substituyindo en (1): $$I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\left(\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1\right)~;\\I=\dfrac{18t^3\ln^2t^2-24t^3\ln t^2+16t^3}{27}+k~;\\I=2t^3\cdot\dfrac{9\ln^2t^2-12\ln
Read MorePROBLEMA 9 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Seguntes estatisticas de l’Instituto Nacional d’Estatistica, la probabilidat que un varón sía en aturo ye d’o 12%, mientres que la que una muller lo sía ye d’o 16%. Amás, la probabilidat d’estar varón ye d’o 64% y la d’estar muller d’o 36%. a) Hemos connectau per retz socials con una persona quál ye la probabilidat
Read MoreProblema 10 de EVAU Matematicas II Aragón
D’os estudiants universitarios espanyols, un de cada 5 abandona los suyos estudios. Se trían 5 estudiants universitarios espanyols a lo azar, de modo independient. Quál ye la probabilidat que un u garra de ditos estudiants abandonen los suyos estudios? (No cal finalizar los calculos, puede deixar-se indicada la probabilidat, precisando y desenvolvendo los numeros y
Read MoreProblema sobre Capil·laritat
A $\bf{20\ \text{ºC}}$, l’ascens capil·lar a nivell del mar del metanol en contacte amb aire en un tub de diàmetre intern de $\bf{0.350\ \text{mm}}$ és de $\bf{3.33\ \text{cm}}$. Sabent que l’angle de contacte del metanol amb el tub és zero i que les densitats del metanol i de l’aire a $\bf{20\ \text{ºC}}$ són $\bf{0.07914\ \text{g/cm}^3}$
Read MoreProblema Juny de 2000 – Sèrie 1 – Qüestió 4
El circ és a la ciutat i s’ha d’instal·lar. L’especialista a muntar-lo encara no ha arribat i els altres no saben la quantitat de cable d’acer que necessiten. El més espavilat recorda que, un cop tensat el cable des de l’extrem del pal principal fins a un punt determinat del terra amb el qual forma
Read MoreProblema sobre acústica
$38$ persones que han anat a una festa estan parlant amb la mateixa intensitat. Si a la festa només hi hagués una persona, el nivell d’intensitat sonora seria de $72\ \text{dB}$. Quin és el nivell d’intensitat sonora quan totes les $38$ persones parlen alhora? Per a resoldre aquest exercici podríem calcular la intensitat corresponenta aquests
Read MoreProblema Selectivitat Juny de 2016 – Sèrie 3 – Qüestió 1
Considereu el sistema d’equacions lineals següent: $$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y+4z&=&-7\\2x-ky&=&-1\\-2x&=&k+1 \end{array} \right\rbrace$$ Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real $k$. La matriu del sistema i la matriu ampliada són $$(M’)=(M|b)=\left(\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&-k&0\\-2&0&0\end{array}\;\;\right|\left.\begin{array}{c}-7\\-1\\k+1\end{array}\right)$$ Calculem el determinant de $M$: $$|M|=\left|\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&-k&0\\-2&0&0\end{array}\;\;\right|=-8k$$ Aquest determinant s’anul·la només quan $k=0$: $$|M|=0 \quad\Rightarrow\quad k=0$$ Per tant quan $k\ne0$ el sistema serà un sistema compatible
Read More