LEMNISCATA
Matemàtiques
Etiqueta: selectivitat
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PROBLEMA 4 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Se considera la dreita $r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\2x+y&=3\end{array}\right.$a) Calcule la equación d’o plano que contiene a la dreita $r$ y que pasa per lo punto $(0,0,1)$.b) Se considera lo paralelepípedo definiu per los vectors $\vec u,~\vec v\text{ y }\vec u\times\vec v$. Sabendo que $\vec u\times\vec v=(-1,1,1)$, calcule lo volumen de dito paralelepípedo. a) La equación d’o fe de
Read MorePROBLEMA 5 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Calcule lo siguient limite: $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)$$ $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=1^{\infty}$$Clamamos $L$ a lo limite que nos piden. Aplicando logaritmos: $$\displaystyle\begin{align} \ln L=\ln\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\lim_{x\rightarrow0^+}\ln\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{x^3}\cdot\ln(1+x-\text{sen}(x))=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}=\dfrac00\end{align}$$Resolvemos esta indeterminación aplicando la regla de L’Hôpital: $$\displaystyle\begin{align}\ln L=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac{1-\cos(x)}{1+x-\text{sen}(x)}}{3x^2}=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1-\cos(x)}{3x^2+3x^3-3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\text{sen}(x)}{6x+9x^2-6x\text{sen}(x)-3x^2\cos(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\cos(x)}{6+18x-6\text{sen}(x)-6x\cos(x)-6x\cos(x)+3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac16\end{align}$$Dimpués, si $\ln L=\frac16$ alavez: $$\boxed{L=y^{1/6}}$$
Read MorePROBLEMA 6 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Se considera la siguient función: $f(x)=\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}$. Estudeye la existencia de asíntotas verticals, horizontals y obliquas y las calcule quan existan. Prencipiamos calculando lo dominio de $f$: $$1-y^{-x}=0~;\ y^{-x}=1~;\ -x=\ln 1~;\ x=0$$Lo dominio de $f$ ye $\mathbb R\setminus{0}$.Calculamos si existe asíntota vertical en $x=0$ (utilizamos la regla de L’Hôpital pa resolver las indeterminacions $0/0$ y $\infty/\infty$):
Read MorePROBLEMA 7 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Se considera la siguient función $f(x)=\ln(2x+1)$. a) Estudeye lo suyo dominio, asinas como los suyos intervalos de creiximiento y decreiximiento.b) Trobe la equación d’a dreita tangente a f en o punto de abscisa $x=\frac{1}{2}$. a) Lo dominio de $f$ ye lo conchunto de totz los numeros reals tals que: $$2x+1>0~;\\2x>-1~;\\x>\dfrac{-1}2$$Ye decir, $\text{Dom }(f)=(\frac{-1}2,+\infty)$.Estudiamos la monotonía
Read MorePROBLEMA 8 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Calcule la siguient integral: $$\displaystyle\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx$$. Femos un cambio de variable: $$x=t^2\rightarrow dx=2t~dt$$Sía I la integral a resolver: $$\displaystyle I=\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx=\int\left(\sqrt{t^2}\cdot\ln^2t^2\right)2t~dt=\int2t^2\ln^2t^2~dt$$Utilizamos lo metodo d’integración per partes: $$\begin{array}{lcl}u=\ln^2t^2&\rightarrow&du=2\ln t^2\cdot\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac{4\ln t^2}t\\ dv=2t^2~dx&\rightarrow&v=\dfrac{2t^3}3\end{array}$$$$\displaystyle I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\int\dfrac{2t^3}3\dfrac{4\ln t^2}t~dt=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\underbrace{\int\dfrac{8t^2\ln t^2}3~dt}_{I_1}\qquad(1)$$Utilizamos lo metodo d’integración per partes pa calcular la integral $I_1$: $$\begin{array}{lcl}u=\ln t^2&\rightarrow&du=\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac2t\\ dv=\dfrac{8t^2}3~dt&\rightarrow&v=\dfrac{8t^3}9\end{array}$$$$\displaystyle I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{8t^3}9\dfrac2t~dt=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{16t^2}9~dt~;\\I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1$$Substituyindo en (1): $$I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\left(\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1\right)~;\\I=\dfrac{18t^3\ln^2t^2-24t^3\ln t^2+16t^3}{27}+k~;\\I=2t^3\cdot\dfrac{9\ln^2t^2-12\ln
Read MorePROBLEMA 9 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Seguntes estatisticas de l’Instituto Nacional d’Estatistica, la probabilidat que un varón sía en aturo ye d’o 12%, mientres que la que una muller lo sía ye d’o 16%. Amás, la probabilidat d’estar varón ye d’o 64% y la d’estar muller d’o 36%. a) Hemos connectau per retz socials con una persona quál ye la probabilidat
Read MoreProblema 10 de EVAU Matematicas II Aragón
D’os estudiants universitarios espanyols, un de cada 5 abandona los suyos estudios. Se trían 5 estudiants universitarios espanyols a lo azar, de modo independient. Quál ye la probabilidat que un u garra de ditos estudiants abandonen los suyos estudios? (No cal finalizar los calculos, puede deixar-se indicada la probabilidat, precisando y desenvolvendo los numeros y
Read MoreCàlcul de Rang d’una matriu
Determineu el rang de la matriu $A$ segons els valors de $a$. $$A(a)=\begin{pmatrix}1&1&a+1&1\\a&0&0&2\\0&a&2&0\end{pmatrix}$$ Calculem el rang d’aquesta matriu utilitzant determinants. Comencem amb les columnes $1$, $2$ i $4$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\a&0&2\\0&a&0\end{vmatrix}=a^2-2a=a(a-2)$$ determinant que s’anul·la amb $a = 0$ i $a = 2$, després: Si a≠0 y a≠2, el rang de A és 3. Si a=0 tenim $$A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&0&0&2\\0&1&2&0\end{pmatrix}$$ Vegem el seu rang calculant el determinant
Read MoreSistema d’equacions
Resoleu el següent sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.$$ Escrivim el sistema d’equacions en forma de matriu: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.\sim\begin{pmatrix}3&2&1&1\\ 5&3&4&2\\ 1&1&-1&1\end{pmatrix}\sim$$ Ho resoldrem per Cramer, calcularem els $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$ $\Delta= \begin{vmatrix}3&2&1\\ \:5&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-1$ $\Delta_x= \begin{vmatrix}1&2&1\\ \:2&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=4$ $\Delta_y= \begin{vmatrix}3&1&1\\ \:5&2&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-6$ $\Delta_z= \begin{vmatrix}3&2&1\\ \:5&3&2\\ \:1&1&1\end{vmatrix}=-1$ Per tant, obtenim:
Read MoreExamen Selectivitat Matemàtiques II 1 de juliol 2020
Calculau les dimensions d’una capsa amb les dues tapes de base quadrangular de volum $64$ metres cúbics de superfície mínima. Comprovau que la solució obtinguda és un mínim. Consideri las rectes $$r \equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{m}=z \qquad \quad s \equiv \left\{x+nz = -2 \atop y -z = -3\right.$$ Troba els valors de $m$ i $n$ per als
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