problema sobre MCUA

Sigui un objecte que descriu un moviment circular de radi $R = 2$ m,
suposem que parteix del repòs i es comença a moure amb acceleració
$\alpha = \frac{\pi}{3}$ rad/s$^2$ . Quant valen les velocitats angular i lineal al cap de $5$
segons? I l’espai angular i lineal recorregut en aquest temps?

En aquest problema, l’objecte descriu un moviment circular amb radi $R = 2$ m i acceleració angular constant $\alpha = \frac{\pi}{3}$ rad/s^2.

Per començar, podem calcular la velocitat angular després de 5 segons usant l’equació:

$$\omega = \omega_{0} + \alpha t$$

on $\omega_{0}$ és la velocitat angular inicial (que és zero en aquest cas), $\alpha$ és l’acceleració angular i $t$ és el temps. Substituïnt els valors, obtenim:

$$\omega = \alpha t = \frac{\pi}{3} \text{ rad/s}^2 \cdot 5 \text{ s} = \frac{5\pi}{3} \text{ rad/s}$$

Per calcular la velocitat lineal, podem usar l’equació:

$$v = R \omega$$

on $R$ és el radi de la circumferència i $\omega$ és la velocitat angular. Substituint els valors, obtenim:

$$v = R\omega = 2 \text{ m} \cdot \frac{5\pi}{3} \text{ rad/s} = \frac{10\pi}{3} \text{ m/s}$$

Així que la velocitat angular després de 5 segons és $\frac{5\pi}{3}$ rad/s i la velocitat lineal és $\frac{10\pi}{3}$ m/s.

Per calcular l’espai angular recorregut en 5 segons, podem usar l’equació:

$$\theta = \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$

on $\theta$ és l’espai angular recorregut (en radians). En aquest cas, $\omega_{0} = 0$ i $\alpha = \frac{\pi}{3}$, així que podem substituir per obtenir:

$$\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{3} \text{ rad/s}^2 \cdot (5 \text{ s})^2 = \frac{25\pi}{6} \text{ rad}$$

Per calcular l’espai lineal recorregut, podem usar la fórmula de la longitud d’arc:

$$s = R\theta = 2 \text{ m} \cdot \frac{25\pi}{6} \text{ rad} = \frac{25\pi}{3} \text{ m}$$

Així que l’espai angular recorregut en 5 segons és $\frac{25\pi}{6}$ radians i l’espai lineal recorregut és $\frac{25\pi}{3}$ metres.