Relació massa, radi i acceleració planeta

Expliqueu la influència que tenen la massa i el radi d’un planeta en l’acceleració de la gravetat a la superfície ia la energia potencial d’una partícula propera a aquesta superfície. Imagineu que la Terra augmentés el radi al doble i la seva massa al quàdruple. quin seria el nou valor de $g$? i el nou període de la Lluna?

L’acceleració de la gravetat a la superfície d’un planeta és:
$$g=\frac{Gm_\mathrm p}{r_\mathrm p ^2}$$
de manera que com més massa i menor radi més acceleració hi haurà a la superfície. Però hi influeix més el radi ja que està elevat al quadrat. Si dupliquem la massa es duplica l’acceleració però si dividim el radi la acceleració es quadriplica. L’energia potencial per a un objecte és:
$$E_\mathrm p=-\frac{Gm_\mathrm p m_\mathrm{objecte}}{r_\mathrm p }$$
i depèn linealment de la massa i inversament del radi.

El valor inicial és:
$$g=\frac{Gm_\mathrm T}{r_\mathrm T ^2}$$
El nou valor el denotem amb primes:
$$g^\prime=\frac{Gm_\mathrm T ^\prime}{r_\mathrm T ^{\prime2}}$$
relacionem els nous valors amb els anteriors:
$$m_\mathrm T ^\prime=4m_\mathrm T \hspace{1cm} r_\mathrm T
^{\prime}=2r_\mathrm T $$
i substituïm:
$$g^\prime=\frac{G4m_\mathrm T }{(2r_\mathrm T )^{2}}=\frac{G4m_\mathrm T
}{4r_\mathrm T ^{2}}=\frac{Gm_\mathrm T }{r_\mathrm T ^{2}}=g$$
per tant, $g$ no canvia. Per al període de la Lluna primer deduïm de què depèn. Sabem que la força de la gravetat li proporciona la força centrípeta:
$$\frac{Gm_\mathrm T m_\mathrm L}{r_{T-L}^2}=\frac{m_\mathrm L v^2}{r_{T-L}}$$
\begin{equation}\label{lluna_1}\frac{Gm_\mathrm
T}{r_{T-L}}=v^2\end{equation}
Per al moviment circular es compleix:
$$v=\omega r \hspace{1cm} \omega= \frac{2\pi}{T}$$
que combinades queden:
$$v=\frac{2\pi r}{T}$$
i substituint a l’equació \ref{lluna_1}:
$$\frac{Gm_\mathrm T }{r_{T-L}}=\frac{4\pi^2 r_{T-L}^2}{T^2}$$
$$T^2=\frac{4\pi^2 r_{T-L}^3}{Gm_\mathrm T }$$
\begin{equation}\label{periodoorbita}T=2\pi \sqrt{\frac{ r_{T-L}^3}{Gm_\mathrm
T }}\end{equation}
i veiem que el període no depèn del radi terrestre sinó de la distància Terra-Lluna. Calculem el nou període:
$$T^\prime=2\pi \sqrt{\frac{ r_{T-L}^3}{Gm_\mathrm T^\prime }}$$
i substituïm $m_\mathrm T^\prime=4m_\mathrm T$:
$$T^\prime=2\pi \sqrt{\frac{ r_{T-L}^3}{G4m_\mathrm T }}$$
i busquem l’equació del període original:
$$T^\prime=\frac 1 2 2\pi \sqrt{\frac{ r_{T-L}^3}{Gm_\mathrm T }}=\frac 1 2 T$$
de manera que el període de la Lluna es reduiria a la meitat (recorda que el període sinòdic, període entre dues fases, són $29$ dies i mig i no $28$ com erròniament es diu).