Problema de treball i energia

Un cos de massa $\boldsymbol{m=2\ \text{kg}}$ va per un pla horitzontal. Entre el cos i el pla hi ha un coeficient de fregament $\boldsymbol{\mu=0.2}$. Quant la seva velocitat és de $\boldsymbol{4\ \text{m/s}}$, li fem una força $\boldsymbol{F=400-60x^2\ \text{N}\text{m}}$. La força actua en la mateixa direcció i sentit que la velocitat al llarg d’un tros $\boldsymbol{3\ \text{m}}$. Calcula la velocitat que agafa el cos per causa d’aquesta força que li fem.

Com que la força és variable, l’acceleració també ho és i no podem fer el problema de la forma usual de calcular primer l’acceleració amb la segona llei i després per cinemàtica de MRUA respondre les preguntes que ens fan. caldrà resoldre el problema amb el mític teorema de les forces vives: “El treball que rep un cos lliure li fa variar l’energia cinètica”.

Primer calcularem el treball que fa la força $F$ en aquests $3\ \text{cm}$. Caldrà fer la integral del treball:

\begin{equation}
\begin{array}{r}\boxed{W}=\displaystyle\int_0^xFdx=\int_0^3(400-60x^2)dx=[400x-20x^3]_0^3= \ \ =400\cdot3-20\cdot3^3=1200-540=\boxed{660\ \text{J}}\end{array}
\end{equation}

Ara calcularem el treball que es dissipa en forma de calor per la força de fregament:}

\begin{equation}
\boxed{F_f}=\mu mg=0.2\cdot20\cdot10=\boxed{40\ \text{N}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{W_f}=F_f\cdot\Delta x=40\cdot3=\boxed{120\ \text{J}}
\end{equation}

El treball que rep el cos i que li fa variar l’energia cinètica és:

\begin{equation}
\boxed{\Delta U_c}=W-W_f=660-120=\boxed{540\ \text{J}}
\end{equation}

L’energia cinètica final serà:

\begin{equation}
\boxed{U_c}=U_{c,0}+\Delta U_c=\frac{1}{2}mv_0^2+\Delta U_c=\frac{1}{2}\cdot20\cdot4^2+540=160+540=\boxed{700\ \text{J}}
\end{equation}

I la velocitat final serà:
\begin{equation}
\boxed{v}=\sqrt{\frac{2U_c}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot700}{20}}=\boxed{8.37\ \text{m/s}}
\end{equation}