Problema de corrent altern

Un generador de corrent altern subministra una tensió instantània, donada per l’expressió $\boldsymbol{V(0)=100\cos(100\pi t+20º)\ (\text{V})}$, a un circuit format per una resistència $\boldsymbol{R=20\ \Omega}$, una bobina de coeficient d’autoinducció $\boldsymbol{L=10\ \text{mH}}$ i un condensador de capacitat $\boldsymbol{C=500\ \mu F}$, connectats en sèrie. Quin és el valor instantani de la intensitat?

En primer lloc cal dir que la fase que apareix a la fórmula de la intensitat hauria d’estar expressada en radiants, encara que el més habitual és expressar-la en graus. De totes maneres quan es vulgui avaluar $V(t)$ per a un instant donat, cal expressar la fase en radiants.

El fasor de la tensió és:

\begin{equation}
\overline {V}=V_0\angle\theta=100\angle20º
\end{equation}

Detreminarem la imdedància total $\overline{Z}$ a partir de: $\overline{Z}=R+(X_L-X_C)j$ i tenint en compte que la freqüència és: $\omega=100\pi\ \text{rad/s}$. Així les reactàncies inductiva, capacitativa i total són respectivament: $X_L$. $X_C$ i $X$.

• $\boxed{X_L}=\displaystyle\omega L=100\pi\ \text{rad/s}\cdot10\cdot10^{-3}\ \text{H}=\boxed{3.14\ \Omega}$
• $\boxed{X_C}=\displaystyle\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{100\pi\ \text{rad/s}\cdot500\cdot10^{-6}\ \text{F}}=\boxed{6.37\ \Omega}$
• $\boxed{X}=X_L-X_C=3.14\ \Omega-6.37\ \Omega=-\boxed{3.23\ \Omega}$

Finalment, la impedància en al seva forma cartesiana és:

\begin{equation}
\boxed{\overline{Z}}=R+Xj=\boxed{20-j3.23\ \Omega}
\end{equation}

Per tal d’aplicar la llei d’Ohm és convenient expressar $\overline{Z}$ en la forma polar exponencial abreujada. Calcularem el mòdul i l’argument de la següent manera:

• $\boxed{Z}=\sqrt{R^2+X^2}=\sqrt{20^2+3.23^2}=\boxed{20.25\ \Omega}$
• $\boxed{\varphi}=\arctan\left(\frac{X}{R}\right)=\arctan\left(\frac{-3.23\ \Omega}{20\ \Omega}\right)=\boxed{-9.1º}$

La impedància complexa queda com:

\begin{equation}
\boxed{20.25\angle-9.1º}
\end{equation}

Aplicant la llei d’Ohm complexa determinarem el fasor de la intensitat

\begin{equation}
\boxed{\bf\overline{I}}=\frac{\bf\overline{V}}{\bf\overline{Z}}=\frac{100\angle20º\ \text{V}}{20.25\angle-9.1º}=\boxed{4.93\angle29.1º}
\end{equation}

Per tant, la intensitat instantània és:

\begin{equation}
\boxed{I(t)}=I_0\cos(\omega t+\alpha)=\boxed{4.93\cos(100\pi t+29.1º)\ \text{A}}
\end{equation}

Atès que $X_C>X_L$, la reactància total $X$ és negativa. Per tant, el circuit és capacitatiu i la intensitat és avançada $9.1º$ respecte de la tensió.