ampolles, garrafes i bidons

En una empresa es fabriquen tres tipus de productes plàstics: ampolles, garrafes i bidons. S’utilitza com a primera matèria 10 kg de polietilè cada hora. Se sap que per fabricar cada ampolla calen 50 grams, per a cada garrafa 100 grams i 1 kg per a cada bidó.

El gerent també ens diu que cal produir el doble d’ampolles que de garrafes. Finalment, se sap que per motius de capacitat de treball, a les màquines es produeixen en total 52 productes cada hora.

Quantes ampolles, garrafes i bidons es produeixen cada hora?

Anomenem $x$ el nombre d’ampolles, $y$ el de garrafes i $z$ el de bidons.

Expressant les dades en grams veiem quantes ampolles, quantes garrafes i quants bidons podem fabricar en una hora utilitzant $10$ kg ($10000$ g) de polietilè: $\boxed{50x+100y+1000z=10000}$

Sabem que es produeixen el doble d’ampolles que de garrafes: $\boxed{x=2y}$

I que en total es produeixen $52$ productes: $\boxed{x+y+z=52}$

Tenim el sistema següent: $$\left\{\begin{array}{rcrcrcc} 50x & + & 100y & + & 1000z & = & 10000 \\ x & – & 2y & & & = & 0 \\ x & + & y & + & z & = & 52 \end{array}\right.$$

Ho resolem usant el mètode de Gauss:

$$\left\{\begin{array}{l} 50x+100y+1000z=10000 \\ x-2y=0 \\ x+y+z=52 \end{array}\right.\ (f_1:50)\longrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+2y+20z=200 \\ x-2y=0 \\ x+y+z=52 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} x+y+z=52 \\ x-2y=0 \\ x+2y+20z=200 \end{array}\right.\ \left.\begin{array}{c}(f_3-f_1) \\ (-f_2+f_1)\end{array}\right.\longrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+y+z=52 \\ 3y +z=52 \\ y+19z=148 \end{array}\right.$$

$$(3f_3-f_2)\longrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+y+z=52 \\ 3y+z=52 \\ 56z=392 \end{array}\right.$$

$$\Rightarrow z=\dfrac{392}{56}=7 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} 3y+7=52 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} 3y=45 \hspace{5pt }\Rightarrow\hspace{5pt} i=15$$

$$\Rightarrow x+15+7=52 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} x=30$$

En una hora es produeixen $30$ ampolles, $15$ garrafes i $7$ bidons.