Vector de Poynting de la llum emesa per una bombeta

Una bombeta de $100\ \text{W}$ emet llum monocromàtica blava de $7\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ en totes direccions de manera isotròpica. Volem determinar la intensitat, els camps elèctric i magnètic i el vector de Poynting en un punt situat a $10\ \text{m}$ de la bombeta.

Si se suposa que $100\ \text{W}$ s0’emeten en forma de radiació, i que aquesta es distribueix de la mateixa manera en totes les direccions (això vol dir que forma isotròpica). es pot pensar que la radiació es propaga en forma d’ona esfèrica. A una distància $r$, la potència serà distribuïda uniformement sobre una superfície esfèrica d’àrea $4\pi r^2$. Així, doncs, la intensitat en un punt que està a una distància $r$ és:

\begin{equation}
I=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{100\ \text{W}}{4\pi(10\ \text{m})^2}=0.08\ \text{W/m^2}
\end{equation}

Les amplituds dels camp elèctric i magnètic es poden calcular a partir de la intensitat. Utilitzem $I=\displaystyle\frac{|\bf E_0||\bf B_0|}{2\mu_0}=\frac{|\bf E_0|^2}{2c\mu_0}=\frac{c}{2\mu_0}|\bf B_0|^2$, i com que els mòduls dels caps estan relacionats per l’equació $|\bf E|=c|\bf B|$, tenim:

• $E_0=\sqrt{2\mu_0 cI}=\sqrt{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot0.08}=7.77\ \text{N/C}$
• $B_0=\frac{E_0}{c}=2.59\cdot10^{-8}\ \text{T}$

A partir de la fórmula $\omega=k v=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$podem calcular el nombre d’ones $k$ i el a freqüència angular $\omega$

• $\omega=2\pi f=2\pi \cdot7\cdot10^{14}\ \text{Hz}=4.4\cdot10^{15}\ \text{rad/s}$
• $k=\frac{\omega}{c}=\frac{4.4\cdot10^{15}\ \text{rad/s}}{3\cdot10^{8}\ \text{m/s}}=1.47\cdot10^{7}\ \text{rad/m}$

Les funcions d’ones dels camps elèctric i magnètic corresponents a ones harmòniques planes polaritzades linealment, que es propaguen en el sentit positiu de l’eix $x$ són, per exemple, les següents:

• $\vec{\bf E}(x,t)=(7.77\ \text{N/C})\sin(1.47\cdot10^{7}x-4.4\cdot10^{15}t)\ \vec{\bf j}$
• $\vec{\bf B}(x,t)=(2.59\cdot10^{-9}\ \text{T})\sin(1.47\cdot10^{7}x-4.4\cdot10^{15}t)\ \vec{\bf k}$

El vector de Poynting es calcula de la següent manera:

\begin{equation}
\vec{\bf S}=\frac{\vec{\bf E}\wedge\vec{\bf B}}{\mu_0}=\frac{1}{\mu_0}\begin{vmatrix}
\vec{\bf i} & \vec{\bf j} & \vec{\bf k}\\
0 & 7.77\sin(\text fase) & 2\\
0 & 0 & 2.59\cdot10^{-8}\sin(\text fase)\end{vmatrix}=
\end{equation}
\begin{equation}
=\frac{1}{\mu_0}7.77\cdot2.59\cdot10^{-8}\sin^2(1.47\cdot10^{7}x-4.4\cdot10^{15}t)\ \vec{\bf i}
\end{equation}
\begin{equation}
=(0.160\ \text{W/m^2})\sin^2(1.47\cdot10^{7}x-4.4\cdot10^{15}t)\ \vec{\bf i}
\end{equation}