Problema de components intrínseques

Des d’una altura de $480\ \mathrm{m}$ disparem un projectil amb una velocitat inicial de $100\ \mathrm{m/s}$ i una inclinació de $30º$. Calcula l’acceleració tangencial, l’acceleració normal i el radi de curvatura de la trajectòria quan l’altura és de $360\ \mathrm{m}$.

Calculem la velocitat inicial:

\begin{equation}
\boxed{\vec{v}_0}=(100\cos30, 100\sin30)=\boxed{(86.6, 50)\ \mathrm{m/s}}
\end{equation}

i els vectors de posició:

\begin{equation}
\boxed{\vec{r}}=\boxed{(86.6t, 480+50t-5t^2)}
\end{equation}

la velocitat:

\begin{equation}
\boxed{\vec{v}}=\boxed{(86.6, 50t-10t)}
\end{equation}

i l’accelaració:

\begin{equation}
\boxed{\vec{a}}=\boxed{(0, -10)}
\end{equation}

Si l’altura és $y=360\ \mathrm{m}$ obtindrem doncs que:

\begin{equation}
360=480+50t-5t^2
\end{equation}

Llavors el temps el calcularem resolent l’equació quadràtica anterior

\begin{equation}
t^2-10t-24=0
\end{equation}

Resolent l’equació quadràtica obtenim dues solucions; una positiva i l’altre negativa. Descartem la negativa, ja que no té sentit físic un temps negatiu. Les solucions són: $t_1=12\ \mathrm{s}$ i $t_2=-1\ \mathrm{s}$. Aquesta última és la que descartem.

Caldrà buscar les acceleracions i el radi de curvatura quan $t_1=12\ \mathrm{s}$. Primer calculem la velocitat:

\begin{equation}
\vec{v}=\left(86.6, -70\right)
\end{equation}

en mòdul:

\begin{equation}
||\vec{v}||=\sqrt{86.6^2+70^2}=111.35\ \mathrm{m/s}
\end{equation}

i l’accelaració:

\begin{equation}
\vec{a}=\left(0, -10\right)
\end{equation}

en mòdul:

\begin{equation}
||\vec{a}||=\sqrt{0^2+10^2}=10\ \mathrm{m/s^2}
\end{equation}

Les acceleracions i el radi de curvatura els podem trobar de tres maneres:

Amb l’angle $\alpha$ entre la velocitat i l’acceleració calcularem les components intrínseques:

\begin{equation}
\boxed{\alpha}=\arccos\left(\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{||\vec{a}||\cdot||\vec{v}||}\right)=\frac{\left(0, -10\right)\cdot\left(86.6, -70\right)}{10\cdot111.35}=\boxed{51º}
\end{equation}

i ara sabent l’acceleració i l’angle descomponem les dues components:

\begin{equation}
\boxed{a_n}=10\sin51=\boxed{7.78\ \mathrm{m/s}}
\end{equation}

i

\begin{equation}
\boxed{a_t}=10\cos51=\boxed{6.29\ \mathrm{m/s}}
\end{equation}

i el radi de curvatura de la trajectòria en aquest punt el calcularem mitjançant:

\begin{equation}
\boxed{R}=\frac{v^2}{a_n}=\frac{111.35^2}{7.78}=\boxed{1593.7\ \mathrm{m}}
\end{equation}

Amb l’angle $\beta$ entre l’acceleració $a = g$ i l’acceleració normal $a_n$ en que és el mateix que el que fa la velocitat amb l’horitzontal:

\begin{equation}
\boxed{\beta}=\arctan\left(\frac{70}{856.6}\right)=\boxed{38.95º}
\end{equation}

i les components normals i tangencials són:

\begin{equation}
\boxed{a_n}=g\cos\beta=10\cos38.95=\boxed{7.78\ \mathrm{m/s^2}}
\end{equation}

i

\begin{equation}
\boxed{a_t}=g\sin\beta=10\sin38.95=\boxed{6.29\ \mathrm{m/s^2}}
\end{equation}

Derivant el mòdul de la velocitat, tindrem l’acceleració tangencial:

\begin{equation}
v=\sqrt{86.6^2+\left(80-10t\right)^2}
\end{equation}

{avaluant quan la $t=12\ \mathrm{s}$ obtenim:

\begin{equation}
\boxed{a_t}=\frac{1400}{2\sqrt{12399.56}}=\boxed{6.286\ \mathrm{m/s^2}}
\end{equation}

i ara pel teorema de Pitàgores trobarem l’acceleració normal:

\begin{equation}
\boxed{a_n}=\sqrt{a^2-a_t^2}=\sqrt{10^2-6.286^2}=\boxed{7.78\ \mathrm{m/s^2}}
\end{equation}