Problema de semi-desintegració i activitat

El Co-$\boldsymbol{60}$ és un element radioactiu anb un període de semi-desintegració de $\boldsymbol{5.27\ \mathrm{anys}}$. Es disposa inicialment d’una mostra radioactiva de Co-$\boldsymbol{60}$ de $\boldsymbol{2\ \mathrm{g}}$ de massa. Calcula:

La massa de Co-$\boldsymbol{60}$ desintegrada després de $\boldsymbol{10\ \mathrm{anys}}$.

El nombre de nuclis $N$ que queden sense desintegrar d’un material radioactiu passat u temps $t$, està determinat per la següent expressió:

\begin{equation}
N=N_0e^{-\lambda t}
\end{equation}

On $N_0$ representa el nombre de nuclis inicials i $\lambda$ és la constant de semidesintegració. Aquesta equació també es pot expressar en funció de la massa inicial de nuclis radioactius $m_0$ i de la massa existent $m$ després de transcòrrer un determinat temps.

\begin{equation}
m=m_0e^{-\lambda t}
\end{equation}

La constant de desintegració es pot obtenir a partir del període de semidesintegració $T_{1/2}$ que representa el temps necessari per a que la mostra original es redueixi a la meitat.

$$\begin{array}{l}
N=N_0e^{-\lambda t} \\
N=\frac{N_0}{2}
\end{array}$$

Igualant les dues equacions anteriors obtenim:

\begin{equation}
\frac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda t}
\end{equation}

fent càcluls i ús dels logaritmes obtenim:

\begin{equation}
\ln 2=\lambda T_{1/2}
\end{equation}

finalment aïllant $\lambda$ tenim:

\begin{equation}
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{\ln2}{5.27}=0.1315\ \mathrm{anys^{-1}}
\end{equation}

Una vegada triobada la constant de desintegració $\lambda$ ara hem de calcular la massa final:

\begin{equation}
\boxed{m}=m_0e^{-\lambda t}=2\cdot e^{-0.1315\cdot10}=\boxed{0.357\ \mathrm{g}}
\end{equation}

L’activitat de la mostra després d’aquest temps.

L’activitat d’una mostra d’una substància radioactiva és el nombre de desintegracions que es produeixen per unitat de temps.

\begin{equation}
A= \left | \frac{dN}{dt} \right | =\left | \frac{d}{dt} N_0e^{-\lambda t} \right |=\lambda N_0e^{-\lambda t}=\lambda N
\end{equation}

per tant:

\begin{equation}
N=n\cdot N_A=\mathrm{m/M}\cdot N_A=\frac{0.573\ \mathrm{g}}{60\ \mathrm{g/mol}}\cdot6.023\cdot10^{23}\ \mathrm{nuclis/mol}
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{N=5.39\cdot10^{21}\ \mathrm{nuclis}}
\end{equation}

i la constant de desintegració $\lambda$ en les unitats del Sistema Internacional són:

\begin{equation}
\boxed{\lambda}=\frac{\ln2}{T_{1/2}}=\frac{\ln 2}{5.27\cdot365\cdot24\cdot3600}=\boxed{4.17\cdot10^{-9}\ \mathrm{s^{-1}}}
\end{equation}

i l’activitat es calcula:

\begin{equation}
A= \left | \frac{dN}{dt} \right |=\lambda N=4.17\cdot10^{-19}\cdot5.39\cdot10^{21}
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{A=2.25\cdot10^{21}\ \mathrm{Bq}}
\end{equation}