El cafè i els sistemes d’equacions

En un estudi de mercat, $500$ participants han provat tres cafès diferents, presentats com a producte $A$, producte $B$ i producte $C$, i han escollit quin dels tres els ha agradat més. Sabem que el producte $B$ ha estat escollit pel doble de persones que el producte $A$ i que el producte $B$ ho han escollit $32$ persones més que els productes $A$ i $C$ junts.

Sigui $x$ el nombre de persones que ha triat el cafè $A$, sigui i el nombre de persones que ha escollit el cafè $B$ i $z$ el nombre de persones que ha escollit el cafè $C$. En total l’estudi de mercat té $500$ participants: $$x+y+z=500$$ El producte $B$ ha estat escollit pel doble de persones que el producte $A$: $$y=2x$$ El producte $B$ l’han escollit $32$ persones més que els productes $A$ i $C$ junts: $$y=x+z+32$$ Amb aquestes tres equacions formem el sistema següent:

$$\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&500\\2x&-&y&&&=&0\\x&-&y&+&z&=&-32\end{array}\right.$$

Utilitzem el mètode de Gauss-Jordan per resoldre el sistema:

$$\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&500\\2x&-&y&&&=&0\\ x&-&y&+&z&=&-32\end{array}\right.\rightarrow\Big[Ec_3-Ec_1\rightarrow Ec_3\Big]\rightarrow\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&500\\2x&-&y&&&&0\\&&-2y&&&=&-532\end {array}\right.$$

De la tercera equació obtenim $y=\dfrac{-532}{-2}=266$. De la segona equació: $$2x-266=0\rightarrow x=\dfrac{266}2=133$$ I de la primera equació: $$133+266+z=500\rightarrow z=500-133-266=101$$ És a dir, $133$ persones han escollit el cafè $A$, $266$ persones han escollit el cafè $B$ i $101$ persones han escollit el cafè $C$.