determinació àrea màxima rectangle

Determina les dimensions del rectangle d’àrea màxima entre tots els que tenen un perímetre de $20$ cm.

Siguin $x$ i $y$ les dimensions del rectangle.

L’àrea del rectangles és: $$S=x\cdot y$$

El rectangle té perímetre $20$; per tant: $$2(x+y) = 20$$

i simplificant; $$x+y = 10$$

Aïllem $x$ a partir de l’equació anterior: $x = 10-y$ i substituïm; això convertirà $S$ en funció d’una variable: $$S = (10-y)y = 10y-y^2$$

El problema quedarà resolt quan trobem el valor de $y$ que fa màxima la funció $S$. Derivem $S$ respecte a $y$ i busquem el valor de $y$ que anul·la $S’$: $$S’ = 10-2y = 0 \longrightarrow 10 = 2y \longrightarrow y = 5\ \text{cm}$$

Substituïnt per trobar $x$: $$x = 10-5 = 5\ \text{cm}$$

Així el rectangle de perímetre $20$ cm i àrea màxima és el quadrat de costat $5$ cm.