Optimització biga secció rectangular

Trobeu la biga de secció rectangular que es pot treure d’un tronc d’arbre de diàmetre $d$, de manera que la seva resistència a la flexió sigui màxima, sabent que la resistència de la biga és directament proporcional a la base i al quadrat de l’alçada de la seva secció rectangular.

Si la secció de la biga és rectangle de base $b$ i alçada $h$, anomenem $k$ la constant de proporcionalitat, la resistència a la flexió ve donada per la fórmula $$R =k\cdot b\cdot h^2$$

Obtindrem una relació entre $b$ i $h$ aplicant el teorema de Pitàgores al triangle $ABC$: $$b^2+h^2 = d^2$$

d’on $$h^2 = d^2-b^2$$

I substituint en l’expressió de $R$ s’obté: $$R= k\cdot b\cdot(d^2-b^2) = k(bd^2-b^3)$$

Cal trobar el valor de $b$ que fa màxima $R$. Derivem-la respecte de $b$: $$R’ = k(d^2-3b^2$$

i anul·lant aquesta derivada: $$R’ = k(d^2-3b^2) = 0\longrightarrow d^2-3b^2 = 0 \longrightarrow 3b^2 = d^2\longrightarrow b = \pm d\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Com que la solució negativa no té sentit, ha de ser: $$b = d\sqrt{\frac{1}{3}}$$

d’on $$h^2 = d^2-\frac{d^2}{3} = \frac{2d^2}{3}\ \text{ i }\ h=d\sqrt{\frac{2}{3}}$$

La biga amb resistència màxima a la flexió és la que té per secció un rectangle de base i d $b = d\sqrt{\frac{1}{3}}$ i d’alçada $h=d\sqrt{\frac{2}{3}}$.