LEMNISCATA
Matemàtiques
Any: 2020
Any: 2020
Sistemes homegenis
Es considera el sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y-(1-a^2)z&=0\\2x+4y+6z&=0\\2x+5y+z&=0\end{array}\right.$$ Calcula raonadament els valors del paràmetre a perquè el sistema tingui solucions diferents de la solució trivial $(0,0,0)$. Es tracta d’un sistema homogeni. Perquè aquest sistema tingui solucions diferents de la trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminat.Discutim el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius. Escrivim el sistema
Read MoreEl teorema de Rouché-Fröbenius
Sigui un sistema de $m$ equacions lineals amb $n$ incògnites $$\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+\cdots &+a_{1n}x_n&=b_1\\a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+\cdots &+a_{2n}x_n&=b_2\\&\vdots&\ddots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+a_{m2}x_2&+\cdots &+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\right.$$ que en forma matricial s’escriu de la forma $$\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}}_{M}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}}_X=\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix}}_N$$$$M\cdot X=N$$ Anomenarem la matriu de coeficients a la matriu $M$. Anomenarem la matriu ampliada a la matriu $M^*$ que és la matriu
Read MoreProblema sobre matriu inversa
Considereu les matrius: $$A=\begin{pmatrix}1&2&-k\\1&-2&1\\k&2&-1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}$$ Discutiu per a quins valors del paràmetre real $k$ la matriu $A$ té matriu inversa. Una matriu A té matriu inversa si el seu determinants és diferent de 0. Calculem el determinants de A: $$|A|=\begin{vmatrix}1&2&-k\\1&-2&1\\k&2&-1\end{vmatrix}=2+2k-2k-2k^2+2-2=-2k^2+2$$ Igualem a 0 aquest determinant i resolem: $$-2k^2+2=0~;\\ k^2=1~;\\ k=\pm1$$ Després, la matriu $A$ té
Read MoreCàlcul de Rang d’una matriu
Determineu el rang de la matriu $A$ segons els valors de $a$. $$A(a)=\begin{pmatrix}1&1&a+1&1\\a&0&0&2\\0&a&2&0\end{pmatrix}$$ Calculem el rang d’aquesta matriu utilitzant determinants. Comencem amb les columnes $1$, $2$ i $4$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\a&0&2\\0&a&0\end{vmatrix}=a^2-2a=a(a-2)$$ determinant que s’anul·la amb $a = 0$ i $a = 2$, després: Si a≠0 y a≠2, el rang de A és 3. Si a=0 tenim $$A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&0&0&2\\0&1&2&0\end{pmatrix}$$ Vegem el seu rang calculant el determinant
Read MoreSistema d’equacions
Resoleu el següent sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.$$ Escrivim el sistema d’equacions en forma de matriu: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.\sim\begin{pmatrix}3&2&1&1\\ 5&3&4&2\\ 1&1&-1&1\end{pmatrix}\sim$$ Ho resoldrem per Cramer, calcularem els $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$ $\Delta= \begin{vmatrix}3&2&1\\ \:5&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-1$ $\Delta_x= \begin{vmatrix}1&2&1\\ \:2&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=4$ $\Delta_y= \begin{vmatrix}3&1&1\\ \:5&2&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-6$ $\Delta_z= \begin{vmatrix}3&2&1\\ \:5&3&2\\ \:1&1&1\end{vmatrix}=-1$ Per tant, obtenim:
Read MoreExamen Selectivitat Matemàtiques II 1 de juliol 2020
Calculau les dimensions d’una capsa amb les dues tapes de base quadrangular de volum $64$ metres cúbics de superfície mínima. Comprovau que la solució obtinguda és un mínim. Consideri las rectes $$r \equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{m}=z \qquad \quad s \equiv \left\{x+nz = -2 \atop y -z = -3\right.$$ Troba els valors de $m$ i $n$ per als
Read MoreProblema sobre aplicació lineal
Sigui $f:R^3\rightarrow R^3$ l’aplicació lineal definida per $$f(x,y,z) = (2x, 3y, x+y+z)$$ Trobeu la matriu de f en les bases canòniques. La matriu de $f$ en les bases canòniques és:$$\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&3&0\\ 1&1&1\end{pmatrix}$$ Calculeu el polinomi característic de $f$ i els valors propis de $f$. El polinomi característic de $f$ és:$$q(t) = (2-t)\cdot(3-t)\cdot(1-t)$$Els valors propis de
Read MoreLleis de càlcul proposicional
Una altra manera de validar un raonament sense necessitat de construir constantment taules de veritat és utilitzar les regles d’inferència. Aquestes regles es representen mitjançant un esquema d’inferència o en forma de llei lògica i permeten d’assegurar la correcció formal d’una inferència o raonament. Així, el resultat obtingut és sempre una tautologia. Per això la
Read MoreSímbols de la lògica proposicional
El llenguatge específic de la lògica proposicional conté un vocabulari en el qual és possible distingir-hi dos tipus de símbols: Símbols no lògics Variables: Són lletres llatines minúscules ($p$, $q$, $r$, $s$, $t\dots$) que representen les proposicions.Per exemple: “si véns ara, aleshores t’espero” equival a “si $p$, aleshores $q$”Tenen dos valors de veritat: vertader o
Read MoreLògica proposicional
La frase La Carme és europea conté una informació concreta que, òbviament, pot ser vertadera o falsa. La lògica d’enunciats no te interès en aquest aspecte, és a dir, no analitza si la Carme és o no europea, sinó que en té prou en de considerar que la proposició pot ser vertadera o falsa. Això
Read More