Problema sobre aplicació lineal

Sigui $f:R^3\rightarrow R^3$ l’aplicació lineal definida per $$f(x,y,z) = (2x, 3y, x+y+z)$$

Trobeu la matriu de f en les bases canòniques.

La matriu de $f$ en les bases canòniques és:
$$\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&3&0\\ 1&1&1\end{pmatrix}$$

Calculeu el polinomi característic de $f$ i els valors propis de $f$.

El polinomi característic de $f$ és:
$$q(t) = (2-t)\cdot(3-t)\cdot(1-t)$$
Els valors propis de $f$ són, per tant, el $2$, el $3$ i l’$1$, tots amb multiplicitat
algebraica $1$.

Estudieu si $f$ diagonalitza.

Tenim que el polinomi característic descomposa en factors lineals. Com que la multiplicitat algebraica és $1$, automàticament, la multiplicitat geomètrica també és $1$. Per tant, el polinomi característic descomposa en factors lineals i les multiplicitats algebraiques i geomètriques de cada valor propi coincideixen. D’aquí es dedueix que $f$ diagonalitza.

En el cas en que $f$ diagonalitzi, trobeu una base formada per vector propis.

Per trobar els vectors propis de $f$ de valors propis $2$, $3$ i $1$ cal resoldre els sistemes d’equacions lineals: $(A-2I)X=0$ i $(A-3I)X=0$ i $(A-I)X=0$. O sigui:

$$\left(A-2I\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&1&0\\ 1&1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ \:y\\ \:z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \:0\\ \:0\end{pmatrix}$$

$$\left(A-3I\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&0&0\\ 1&1&-2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ \:y\\ \:z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \:0\\ \:0\end{pmatrix}$$

$$\left(A-I\right)\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&0\\ 1&1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\ \:y\\ \:z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \:0\\ \:0\end{pmatrix}$$

El subespai de solucions del primer sistema és: $<
(1,0,1)>$.

El subespai de solucions del primer sistema és: $<
(0,2,1)>$.

El subespai de solucions del primer sistema és: $<
(0,0,1)>$.

Per tant, una base formada per vector propis de $f$ és :
$<(1,0,1), (0,2,1),(0,0,1)>$