LEMNISCATA
Matemàtiques
Lleis de càlcul proposicional
Lleis de càlcul proposicional
Una altra manera de validar un raonament sense necessitat de construir constantment taules de veritat és utilitzar les regles d’inferència. Aquestes regles es representen mitjançant un esquema d’inferència o en forma de llei lògica i permeten d’assegurar la correcció formal d’una inferència o raonament. Així, el resultat obtingut és sempre una tautologia. Per això la llei lògica acostuma a expressar-se $P\Rightarrow Q$, ja que sempre és formalment correcta.
Existeixen moltes lleis lògiques, ja que n’hi ha una per a cada raonament vàlid. Tanmateix, caldria destacar les que acompleixen un paper fonamental en al inferència lògica, i per tant en la matemàtica, com ara les anomenades lleis del càlcul proposicional. Aquestes lleis són:
| Doble negació | $A\Leftrightarrow\neg(\neg A)$ | Negar dues vegades alguna cosa és igual que afirmar-la. I a l’inrevés, afirmar alguna cosa equival a negar-la dues vegades.Sóc feliç equival a No sóc infeliç. |
| Eliminació de la conjunció o simplificació | $\begin{array}{r} A\wedge B\Rightarrow A \\ A\wedge B\Rightarrow B \end{array}$ | Si dues premisses $A$ i $B$ es donen simultàniament tant se’n pot concloure $A$ com $B$.El Sol dóna llum i escalfor, per tant el Sol dóna llum.El Sol dóna llum i escalfor, per tant el Sol dóna escalfor |
| Introducció a la disjunció | $A\Rightarrow A\vee B$ | Si es disposa d’una proposició com a premissa, pot afegir-s’hi disjuntivament qualsevol altra proposicióLa velocitat és un vector, per tant la velocitat és un vector o plou. |
| Llei del bicondicional | $\begin{array}{c} (A\Leftrightarrow B)\Rightarrow (A\Rightarrow B)\\ (A\Leftrightarrow B)\Rightarrow (B\Rightarrow A)\\ (A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow[(A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow A)]\end{array}$ | A partir d’un bicondicional, en podem concloure dos condicionals, i a l’inrevésAprenc si i només si estudio equival a Si aprenc, aleshores estudio i si estudio, aleshores aprenc. |
| Llei del dilema | $[(A\Rightarrow B)\wedge(C\Rightarrow D)\wedge(A\vee C)]\Leftrightarrow(B\vee D)$ | Si una disjunció es vertadera, i cadascun dels seus membres té una conseqüència, aleshores és certa la disjunció d’aquestes conseqüènciesSi estudio aprovaré i si surto, em divertiré. Estudiaré o sortiré. Tot això equival a Aprovaré o em divertiré. |
| Lleis de De Morgan | $\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A\vee \neg B)$ $\neg(A\vee B)\Leftrightarrow (\neg A\wedge \neg B)$ | La negació d’una conjunció és la disjunció de cadascun dels seus components negats. La negació d’una disjunció és la conjunció de cadascun dels seus components negats. De No és cert que les matemàtiques siguin difícils i que la pintura sigui fàcil en podem concloure que Les matemàtiques són fàcils o la pintura és difícil.No és veritat que corri o que voli ens permet de concloure’n que Ni corre ni vola |
| Sil·logisme disjuntiu | $[(A\vee B)\wedge\neg A]\Rightarrow B$ | La disjunció de dues proposicions i la negació d’una d’aquestes, implica l’altra.Si plou o fa sol però no plou, aleshores fa sol. |
| Condicional-conjunció | $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow \neg(A\wedge\neg B)$ | Un condicional és la negació de la conjunció de l’antecedent amb la negació del consegüent.Si gira, aleshores es mou equival a No és cert que giri i no es mogui. |
| Condicional-disjunció | $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow(\neg A \vee B)$ | Un condicional és la negació de la disjunció entre la negació de l’antecedent i el consegüent.Si s'està quiet, aleshores no es mou equival a No s'està quiet o no es mou. |
| Modus ponens | $[(A\Rightarrow B)\wedge A]\Rightarrow B$ | Donats un condicional i el seu antecedent com a premisses, se’n conclou el consegüent.Si pensar comporta existir, i penso, aleshores existeixo. |
| Modus tollens | $[(A\Rightarrow B)\wedge \neg B]\Rightarrow\neg A$ | D’un condicional i la negació del consegüent, se’n conclou la negació de l’antecedent.Si plou, aleshores està mullat, i no està mullat, per tant no plou. |
| Llei de la transitivitat | $[(A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow c)]\Rightarrow(A\Rightarrow C)$ | Si $A$ té com a conseqüència $B$, i $B$ té com a conseqüència $C$, aleshores es pot concloure que $A$ té com a conseqüència $C$.Si una recta $r$ és paral·lela a una altra recta $s$, i $s$ és paral·lela a una altra recta $t$, aleshores $r$ és paral·lela a $t$. |
| Commutativitat | $A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A$ $A\vee B\Leftrightarrow B\vee A$ $(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (B\Leftrightarrow A)$ | L’ordre en la conjunció, en la disjunció i en la bicondicional de les premisses no altera la veritat |
| Associativitat | $(A\wedge B)\wedge C\Leftrightarrow A\wedge (B\wedge C)$ $(A\vee B)\vee C\Leftrightarrow A\vee (B\vee C)$ $[(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow C]\Leftrightarrow [A\Leftrightarrow (B\Leftrightarrow C)]$ | L’associació de les premisses en la conjunció, la disjunció i el bicondicional no altera la veritat. |
| Distribuitivitat (Conjunció, disjunció) | $[A\wedge(B\vee C)]\Leftrightarrow[(A\wedge B)\vee(A\wedge C)]$ $[A\vee(B\wedge C)]\Leftrightarrow[(A\vee B)\wedge(A\vee C)]$ | La conjunció d’una disjunció és la disjunció de les conjuncions. La disjunció d’una conjunció és la conjunció de les disjuncions. |
| Distribuitivitat (Conjunció, disjunció, condicional) | $[A\Rightarrow (B\vee C)]\Leftrightarrow [(A\wedge B)\vee(A\wedge C)]$ $[A\Rightarrow (B\wedge C)]\Leftrightarrow [(A\vee B)\wedge(A\vee C)]$ | La implicació d’una conjunció és la conjunció de les implicacions. La implicació d’una disjunció és la conjunció de les implicacions. |
| Idempotència | $A\wedge A\Leftrightarrow A$ $A\vee A\Leftrightarrow A$ | Si alguna cosa és certa la seva conjunció o la seva disjunció també ho són. |
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss