Introducció a la lògica matemàtica

Tot i que és cert que per a solucionar els problemes matemàtics hem de raonar, és tant important el raonament en les matemàtiques en general? Per a respondre a aquesta qüestió podem partir de la definició de matemàtica que trobem en el diccionari:

La matemàtica és la part de la ciència que, a partir d’unes determinades nocions bàsiques, desenvolupa les seves teories sense cap més suport que el raonament lògic.

Així doncs, el raonament és en la matemàtica. La disciplina que n’estudia la validesa en general rep el nom de lògica. Per a iniciar l’anàlisi dels raonaments hem de diferenciar-ne els dos tipus: deductius i inductius.

• La deducció consisteix a passar de premisses generals a una conclusió menys general. Quan aquest tipus d’inferència és correcta, la conclusió se segueix necessàriament de les premisses: és impossible que, si les premisses són vertaderes, la conclusió sigui falsa.
  Observa, per exemple, el següent raonament deductiu:
  Tots els nombres naturals són enters. El $2.5$ no és un nombre enter. Per tant, el $2.5$ no és un nombre natural.
• La inducció consisteix a arribar a una conclusió general a partir d’informacions menys generals que vénen donades en les premisses.
  Tret del cas de la inducció completa, descrit en el marge, només es pot parlar d’una certa probabilitat, ja que encara que les premisses siguin vertaderes, això no assegura que la conclusió també ho sigui.
  Per exemple, si tenim les premisses següents:
  • El nombre $121$ és divisible entre $11$.
  • El nombre $363$ és divisible entre $11$.
  • El nombre $1331$ és divisible entre $11$.
    Podem arribar a la conclusió que:
    Els nombres capicua són divisibles entre $11$.
    Tanmateix, hem d’estar disposats a revisar la veracitat d’aquesta conclusió.
    

Les premisses i la conclusió són enunciats que afirmen alguna cosa o que la neguen i, per tant, poden ser vertaderes o falses. En canvi, els raonaments no poden ser vertaders ni falsos, ja que no afirmen ni neguen res. Per això no parlarem de raonaments vertaders, sinó de raonaments correctes o vàlids.

La part de la lògica que s’ocupa únicament de la validesa dels raonaments, sense tenir en compte el contingut dels enunciats, és la lògica formal. Dins d’aquesta, la lògica proposicional o d’enunciats pren els enunciats en bloc, sense analitzar-los.