Problema sobre refrescos, cerveses i vi

El propietari d’un bar ha comprat refrescos, cervesa i vi per un import de $500$ euros sense incloure-hi impostos. La despesa en vi és de $60$ euros menys que les despeses en refrescos i cervesa conjuntament, sense incloure impostos. Tenint en compte que els impostos dels refrescos, la cervesa i el vi són el 6%, el 12% i el 30%, respectivament, aleshores l’import total de la factura incloent impostos ha pujat a $592,4$ euros. Calcula l’import, incloent-hi impostos, invertit a cadascuna de les begudes.

$$\left\{\begin{array}{l} x \leftarrow \text{ preu sense impost dels refrescs} \\ y \leftarrow \text{ preu sense impost de la cervesa} \\ z \leftarrow \text{ preu sense impost del vi} \end{array}\right.

• El propietari d’un bar ha comprat refrescos, cervesa i vi per un import de $500$ euros sense incloure impostos $\Rightarrow x+y+z=500$
• La despesa en vi és $60$ euros menys que les despeses en refrescos i cervesa conjuntament, sense incloure impostos $\Rightarrow x+y=z+60 \Rightarrow x+y-z=60$
• L’import total de la factura incloent impostos ha pujat a $592,4$ euros $\Rightarrow 1.06\cdot x+1.12\cdot y+1.30\cdot z=592.4 \Rightarrow 106x+112y+130z=59240$
  (dividint entre 2) $\Rightarrow 53x+56y+65z=29620$

Tenim el sistema següent: $$\left\{\begin{array}{l} x+y+z=500 \\ x+y-z=60 \\ 53x+56y+65z=29620 \end{array}\right.$$

$$A^+=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 500 \\ 1 & 1 & -1 & 60 \\ 53 & 56 & 65 & 29620 \end{array}\right)$$ la matriu ampliada de coeficients del sistema.

Restant-li a la segona fila la primera i a la tercera la primera multiplicada per 53 tenim:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 500 \\ 0 & 0 & -2 & -440 \\ 0 & 3 & 12 & 3120 \end{array}\right) \Rightarrow \left\{\begin{array}{r} x+y+z=500 \\ -2z=-440 \\ 3y+12z=3120 \end{array}\right.$$

$$\Rightarrow -2z=-440 \Rightarrow \boxed{z=220\ euros} \Rightarrow 3y+12\cdot220=3120 \Rightarrow \boxed{y=160\ euros}$$

$$\Rightarrow x+160+220=500 \Rightarrow \boxed{x=120\ euros}$$ Són els preus sense I.V.A.

Imports amb impostos:

Refrescos: $120+6\%=120\cdot1’06= \boxed{127.20\ euros}$
Cervesa: $160+12\%=160\cdot1’12= \boxed{179.20\ euros}$
Vi: $220+30\%=220\cdot1’30= \boxed{286\ euros}$