Problema sobre camp creat per una espira circular

Per una espira circular de radi $R = 0.50$ m que es troba en el pla del paper, circula una intensitat de valor $I = 3.0$ A, en sentit horari Calculeu el mòdul, direcció i sentit del camp magnètic que crea en el
seu centre.

El camp magnètic creat per una espira circular es pot calcular utilitzant la llei de Biot-Savart:

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_C\frac{d\vec{l}\times(\vec{r}-\vec{r’})}{|\vec{r}-\vec{r’}|^3}$$

on $\mu_0$ és la permeabilitat magnètica del buit, $C$ és la trajectòria dels càrrecs que generen el camp, $\vec{r}$ és el vector posició del punt on es vol calcular el camp i $\vec{r’}$ és el vector posició dels càrrecs que generen el camp.

En aquest cas, tenim una espira circular de radi $R = 0.50$ m per la qual circula una corrent elèctrica $I = 3.0$ A en sentit horari. Volem calcular el mòdul, la direcció i el sentit del camp magnètic que crea en el seu centre.

Per simetria, el camp magnètic creat per l’espira circular en el seu centre només té component en la direcció perpendicular al pla de l’espira. Així, podem calcular només el mòdul del camp magnètic.

Per calcular el camp magnètic, podem assumir que l’espira es troba en el pla $xy$, amb el seu centre en l’origen $(0, 0, 0)$ i la corrent circulant en sentit horari. Podem dividir l’espira en un gran nombre de elements de longitud $dl$, cada un dels quals genera un camp magnètic. El mòdul del camp magnètic creat per cada element en el centre de l’espira és:

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\cdot dl}{r^2}$$

on $r$ és la distància entre l’element i el centre de l’espira.

Com que tots els elements estan a la mateixa distància del centre, podem sumar les contribucions de tots els elements per obtenir el camp magnètic total:

$$B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{R^2}\int_C dl$$

on $R$ és el radi de l’espira i l’integral s’ha de fer sobre tota la longitud de l’espira. Per una espira circular, aquesta integral és simplement la longitud de la circumferència, $2\pi R$.

Així, el mòdul del camp magnètic creat per l’espira en el seu centre és:

$$B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{R} = \frac{4\pi\times 10^{-7}\mathrm{T\cdot m/A}}{4\pi}\frac{3.0\mathrm{A}}{0.50\mathrm{m}} \approx 3.8\times 10^{-5}\mathrm{T}$$

La direcció del camp magnètic és perpendicular al pla de l’espira, és a dir, apunta en la direcció $z$ positiva.

El sentit del camp magnètic és determinat per la regla de la mà dreta