Problema 1 examen matemàtiques CCSS 18 juny de 2020

Una empresa fabrica tres models de televisors, que anomenarem A, B, i C. El model A necessita passar dues hores a l’unitat de muntatge; el model B, tres i el model C, una. El model A ha de passar una hora a l’unitat d’acabat i el model B, dues i el model C, tres hores. En total s’han produït $14$ aparells de televisors, la unitat de muntatge ha treballat $25$ hores i la unitat d’acabat ha treballat $26$ hores. Quants televisors de cada tipus s’han produït?

Planteig de les incògnites
$x$ = nombre de TV tipus A
$y$ = nombre de TV tipus B
$z$ = nombre de TV tipus C

Planteig del sistema d’equacions
\begin{cases}x+y+z=14\\
2x+3y+z=25\\
x+2y+3z=26\end{cases}

La matriu associada al sistema d’equacions anteriors és:

$$\begin{pmatrix}1&1&1&14\\ 2&3&1&25\\ 1&2&3&26\end{pmatrix}$$

Calculem els determinants: $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$

$$\Delta = \begin{vmatrix}1&1&1\\ 2&3&1\\ 1&2&3\end{vmatrix}=3$$

$$\Delta_x = \begin{vmatrix}14&1&1\\ 25&3&1\\ 26&2&3\end{vmatrix}=21$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix}1&14&1\\ 2&25&1\\ 1&26&3\end{vmatrix}=6$$

$$\Delta_z =\begin{vmatrix}1&1&14\\ 2&3&25\\ 1&2&26\end{vmatrix}=15 $$

Per tant; la $x$, la $y$ i la $z$ seran:

$$\left\{\begin{array}{}x=\displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{21}{3} = 7\\y=\displaystyle\frac{\Delta_y}{\Delta}=\displaystyle\frac{6}{3} = 2\\z=\displaystyle\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{15}{3} = 5\end{array}\right.$$

Solució
$x = 7$ TV-A
$y = 2$ TV-B
$z = 5$ TV-C