LEMNISCATA
Matemàtiques
Examen de matemàtiques II 19 de juny de 2020
Examen de matemàtiques II 19 de juny de 2020
- Considera el següent sistema d’equacions $$\left.\begin{array}{ccc}x+3y+z & = & 3 \\2x+my+z & = & m \\3x+5y+mz & = & 5\end{array}\right\}$$
- Discuteix el sistema pels diferents valors de $m$
- Resol el sistema pel valor o valors que tinguin infinites solucions.
- Donades les matrius $$A = \left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0\\ 3 & -2 & 0\\ 1 & 5 & -1\end{array}\right)\ \mathrm{i}\ B =\left(\begin{array}{ccc}-5 & 0 & 3\\ 1 & -1 & 1\\ -2 & 4 & -3\end{array}\right)$$ troba la matriu que $X$ que compleixi: $A \cdot X = (B \cdot A^t)^t$.
- Les funcions $f(x) = x^4 + ax^2 + bx$ i $g(x) = x − cx^2$ passen pel punt $(1, 0)$. Determinau els coeficients $a$, $b$ i $c$ perquè tinguin la mateixa recta tangent en aquest punt i calculau-la.
- Troba l’equació de el pla que passa pel punt $A(1,0,-1)$, és perpendicular al pla $\pi:x-y+2z+1=0$ i és paral·lel a la recta $$\left\{\begin{array}{rrr}x-2y & = & 0\\z & = & 0\end{array}\right.$$
- L’àrea del recinte limitat per les corbes d’equacions $y = \frac{x^2}{a}$ i $y=\sqrt{ax}$ amb $a > 0$, val $3$. Calculeu el valor de $a$.
- Considereu un con de $120$ cm$^3$ de volum que té una altura $h$, un radi de la base $x$ i una aresta $a$, com el de la figura següent:
- Comproveu que $a^2=\displaystyle\frac{360}{\pi}\cdot\frac{1}{h}+h^2$.
- Calculeu l’altura del con que té l’aresta de longitud mínima.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss