Energia en el moviment harmònic simple

L’amplitud en un moviment harmònic simple originat per una molla de constant recuperadora $k = 500$ N/m és de $40.0$ cm. Quina serà l’energia total de l’oscil·lador? Quant val la seva energia cinètica a l’instant en que l’elongació és de $30.0$ cm?

L’energia total en un oscil·lador harmònic simple que té una amplitud $A$ ve donada per l’expressió:

$$E_{tot} = \frac{1}{2}kA^2$$

On $k$ és la constant recuperadora de la molla. En aquest cas, se’ns dóna que la constant recuperadora és $k = 500\ \mathrm{N/m}$ i l’amplitud és $A = 40,0\ \mathrm{cm} = 0,4\ \mathrm{m}$. Substituint els valors en l’expressió, obtenim:

$$E_{tot} = \frac{1}{2}(500\ \mathrm{N/m})(0,4\ \mathrm{m})^2 = 40\ \mathrm{J}$$

Per tant, l’energia total de l’oscil·lador és de $40\ \mathrm{J}$.

Per trobar l’energia cinètica en un moment determinat, podem utilitzar l’expressió:

$$E_c = \frac{1}{2}mv^2$$

On $m$ és la massa de l’objecte que oscil·la i $v$ és la seva velocitat. En aquest cas, suposant que la massa de l’objecte és $1\ \mathrm{kg}$ i l’elongació és de $30,0\ \mathrm{cm} = 0,3\ \mathrm{m}$, podem calcular la velocitat a partir de l’energia total i l’energia potencial:

$$E_{tot} = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$$

On $x$ és l’elongació de la molla. Substituint els valors, obtenim:

$$40\ \mathrm{J} = \frac{1}{2}(1\ \mathrm{kg})v^2 + \frac{1}{2}(500\ \mathrm{N/m})(0,3\ \mathrm{m})^2$$

Simplificant, obtenim:

$$v^2 = \frac{40\ \mathrm{J} – 22,5\ \mathrm{J}}{0,5\ \mathrm{kg}} = 35\ \mathrm{m^2/s^2}$$

Per tant, la velocitat en aquest moment és $v = \sqrt{35}\ \mathrm{m/s}$ i l’energia cinètica és:

$$E_c = \frac{1}{2}(1\ \mathrm{kg})(\sqrt{35}\ \mathrm{m/s})^2 = 17,5\ \mathrm{J}$$

Per tant, l’energia cinètica de l’oscil·lador en aquest moment és de $17,5\ \mathrm{J}$