Càlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan

Quina és la matriu inversa de la següent matriu? $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

1. En primer lloc s’afegeix la matriu identitat a la dreta de la matriu originària: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
2. S’ha de “transportar” la matriu identitat a l’esquerra mitjançant el mètode de Gauss. $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\stackrel{f_2-f_1\displaystyle\longrightarrow f_2^*}{\displaystyle\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
   $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\stackrel{f_3+f_2\displaystyle\longrightarrow f_3^*}{\displaystyle\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0<\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
   $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)\stackrel{f_2-f_3\displaystyle\longrightarrow f_2^*}{\displaystyle\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
   $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \stackrel{f_1+f_2\displaystyle\longrightarrow f_1^*}{\displaystyle\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
   Finalment es multiplica la $f_2$ per $-1$, i ja tenim la matriu identitat a la dreta.
   I s’identifica: $$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
   Comprovació:
   
   Es recomana fer la comprovació després del càlcul, ja que els errors solen ser freqüents. Per a tal efecte s’utilitza la pròpia definició de matriu inversa: $$A\cdot A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
   Efectivament es demostra: $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$