LEMNISCATA
Matemàtiques
Siguin $x,\ y$ les edats respectives de Beethoven i Schubert en $1800$. Llavors la primera dada és $10y=x$
Sigui $z$ el temps que passa per a crear la Simfonia Incompleta. Això significa que l’any $1800+z$ les edats són $x+z,\ y+z$ respectivament, i compleixen que $(x+z)+(y+z)=77$.
Finalment, $5$ anys desprès, és a dir en $1800+z+5$ es té que la Beethoven mor a l’edat de $x+z+5$ quan Scubert té l’edat que tènia Beethoven en $1800$, és a dir $x$ anys.
Això significa que el temps que ha passat des de $1800$ fins a la mort de Beethoven més l’edat de Schubert en $1800$ ens dóna l’edat que ara té Schubert quan mor Beethoven. És a dir en $1800+z+5$ Schubert ha de tenir $y+z+5$ anys, per la qual cosa $y+z+5=x$
Es forma el sistema
$$\left\{\begin{array}{r}x−10y=&0 \\ x+y+2z=&77 \\ x−y−z=&5\end{array}\right.$$
Resolem el següent sistema d’equacions pel mètode de Cramer:
$$\begin{cases}
x – 10y = 0 \\
x + y + 2z = 77 \\
x – y – z = 5
\end{cases}$$
La matriu de coeficients és:
$$A = \begin{bmatrix}
1 & -10 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & -1 & -1
\end{bmatrix}$$
El determinant de $A$ és:
$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -10 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$
Expansió per la primera columna:
$$\Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}-(-10) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$
Calculem els determinants $2 \times 2$:
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) – (2 \cdot -1) = -1 + 2 = 1$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) – (2 \cdot 1) = -1 – 2 = -3$$
Substituïm:
$$\Delta = (1 \cdot 1) – (-10 \cdot -3) = 1 – 30 = -29$$
Determinant $\Delta_x$ (substituïm la primera columna pels termes independents):
$$A_x = \begin{bmatrix} 0 & -10 & 0 \\ 77 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$
$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 0 & -10 & 0 \\ 77 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$
Expansió per la primera columna:
$$\Delta_x = 10 \cdot \begin{vmatrix} 77 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}$$
$$\begin{vmatrix} 77 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (77 \cdot -1) – (2 \cdot 5) = -77 – 10 = -87$$
$$\Delta_x = 10 \cdot (-87) = -870$$
Determinant $\Delta_y$ (substituïm la segona columna pels termes independents):
$$A_y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 77 & 2 \\ 1 & 5 & -1 \end{bmatrix}$$
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 77 & 2 \ 1 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 77 & 2 \ 5 & -1 \end{vmatrix}$$
Ja hem calculat:
$$\Delta_y = -87$$
Determinant $\Delta_z$ (substituïm la tercera columna pels termes independents):
$$A_z = \begin{bmatrix} 1 & -10 & 0 \\ 1 & 1 & 77 \\ 1 & -1 & 5 \end{bmatrix}$$
$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -10 & 0 \\ 1 & 1 & 77 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}$$
Expansió per la primera columna:
$$\Delta_z = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 77 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} + 10 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 77 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 77 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5) – (77 \cdot -1) = 5 + 77 = 82$$
$$\begin{vmatrix} 1 & 77 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5) – (77 \cdot 1) = 5 – 77 = -72$$
$$\Delta_z = (1 \cdot 82) + (10 \cdot -72) = 82 – 720 = -638$$
$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-870}{-29} = 30$$
$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-87}{-29} = 3$$
$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-638}{-29} = 22$$
$$\boxed{(x, y, z) = (30, 3, 22)}$$
d’on en resoldre’l obtenim $x,\ y$ (les edats en $1800$), així que només fem $1800−x$, $1800−y$ per a trobar l’any de naixement de cadascun.