Beethoven, Schubert i les matemàtiques

Quan l’any $1800$ Beethoven escriu la seva primera simfonia, la seva edat és deu vegades més gran que la del jovenet Franz Schubert. Passa el temps i és Schubert el que compon la seva cèlebre Simfonia incompleta. Llavors la suma de les edats de tots dos músics és igual a $77$ anys. cinc anys després mor Beethoven i en aquest moment Schubert té els mateixos anys que tenia Beethoven quan va compondre la seva primera simfonia. Determinar l’any de naixement de cada un d’aquests dos compositors.

Siguin $x,\ y$ les edats respectives de Beethoven i Schubert en $1800$. Llavors la primera dada és $10y=x$

Sigui $z$ el temps que passa per a crear la Simfonia Incompleta. Això significa que l’any $1800+z$ les edats són $x+z,\ y+z$ respectivament, i compleixen que $(x+z)+(y+z)=77$.

Finalment, $5$ anys desprès, és a dir en $1800+z+5$ es té que la Beethoven mor a l’edat de $x+z+5$ quan Scubert té l’edat que tènia Beethoven en $1800$, és a dir $x$ anys.
Això significa que el temps que ha passat des de $1800$ fins a la mort de Beethoven més l’edat de Schubert en $1800$ ens dóna l’edat que ara té Schubert quan mor Beethoven. És a dir en $1800+z+5$ Schubert ha de tenir $y+z+5$ anys, per la qual cosa $y+z+5=x$

Es forma el sistema
$$\left\{\begin{array}{r}x−10y=&0 \\ x+y+2z=&77 \\ x−y−z=&5\end{array}\right.$$

Resolem el següent sistema d’equacions pel mètode de Cramer:

$$\begin{cases}
x – 10y = 0 \\
x + y + 2z = 77 \\
x – y – z = 5
\end{cases}$$

Pas 1: Construir la matriu de coeficients i calcular el determinant principal ($\Delta$)

La matriu de coeficients és:

$$A = \begin{bmatrix}
1 & -10 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & -1 & -1
\end{bmatrix}$$

El determinant de $A$ és:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -10 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$

Expansió per la primera columna:

$$\Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}-(-10) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$

Calculem els determinants $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) – (2 \cdot -1) = -1 + 2 = 1$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) – (2 \cdot 1) = -1 – 2 = -3$$

Substituïm:

$$\Delta = (1 \cdot 1) – (-10 \cdot -3) = 1 – 30 = -29$$

Pas 2: Càlcul dels determinants $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$

Determinant $\Delta_x$ (substituïm la primera columna pels termes independents):

$$A_x = \begin{bmatrix} 0 & -10 & 0 \\ 77 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 0 & -10 & 0 \\ 77 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$

Expansió per la primera columna:

$$\Delta_x = 10 \cdot \begin{vmatrix} 77 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 77 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (77 \cdot -1) – (2 \cdot 5) = -77 – 10 = -87$$

$$\Delta_x = 10 \cdot (-87) = -870$$

Determinant $\Delta_y$ (substituïm la segona columna pels termes independents):

$$A_y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 77 & 2 \\ 1 & 5 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 77 & 2 \ 1 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 77 & 2 \ 5 & -1 \end{vmatrix}$$

Ja hem calculat:

$$\Delta_y = -87$$

Determinant $\Delta_z$ (substituïm la tercera columna pels termes independents):

$$A_z = \begin{bmatrix} 1 & -10 & 0 \\ 1 & 1 & 77 \\ 1 & -1 & 5 \end{bmatrix}$$

$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -10 & 0 \\ 1 & 1 & 77 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}$$

Expansió per la primera columna:

$$\Delta_z = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 77 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} + 10 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 77 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 77 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5) – (77 \cdot -1) = 5 + 77 = 82$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 77 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5) – (77 \cdot 1) = 5 – 77 = -72$$

$$\Delta_z = (1 \cdot 82) + (10 \cdot -72) = 82 – 720 = -638$$

Pas 3: Càlcul de les incògnites

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-870}{-29} = 30$$

$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-87}{-29} = 3$$

$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-638}{-29} = 22$$

Solució final:

$$\boxed{(x, y, z) = (30, 3, 22)}$$

d’on en resoldre’l obtenim $x,\ y$ (les edats en $1800$), així que només fem $1800−x$, $1800−y$ per a trobar l’any de naixement de cadascun.