Beethoven, Schubert i les matemàtiques

Quan l’any $1800$ Beethoven escriu la seva primera simfonia, la seva edat és deu vegades més gran que la del jovenet Franz Schubert. Passa el temps i és Schubert el que compon la seva cèlebre Simfonia incompleta. Llavors la suma de les edats de tots dos músics és igual a $77$ anys. cinc anys després mor Beethoven i en aquest moment Schubert té els mateixos anys que tenia Beethoven quan va compondre la seva primera simfonia. Determinar l’any de naixement de cada un d’aquests dos compositors.

Siguin $x,\ y$ les edats respectives de Beethoven i Schubert en 1800. Llavors la primera dada és $10y=x$

Sigui $z$ el temps que passa per a crear la Simfonia Incompleta. Això significa que l’any $1800+z$ les edats són $x+z,\ y+z$ respectivament, i compleixen que $(x+z)+(y+z)=77$.

Finalment, 5 anys desprès, és a dir en $1800+z+5$ es té que la Beethoven mor a l’edat de $x+z+5$ quan Scubert té l’edat que tènia Beethoven en $1800$, és a dir $x$ anys.
Això significa que el temps que ha passat des de $1800$ fins a la mort de Beethoven més l’edat de Schubert en $1800$ ens dóna l’edat que ara té Schubert quan mor Beethoven. És a dir en $1800+z+5$ Schubert ha de tenir $y+z+5$ anys, per la qual cosa $y+z+5=x$

Es forma el sistema
$$\left\{\begin{array}{r}x−10y=&0\\ x+y+2z=&77\\x−y−z=&5\end{array}\right.$$

d’on en resoldre’l obtenim $x,\ y$ (les edats en $1800$), així que només fem $1800−x$, $1800−y$ per a trobar l’any de naixement de cadascun.