Problema distribució normal

En una mostra de 1000 persones d’una determinada població, es va obtenir que la mitjana aritmètica va ser de 170 cm amb una desviació estàndard de 10 cm. Si suposem que la talla es distribueix normalment, calcula el nombre de persones que: a) mesuren menys de 160 cm b) més de 2 m.

a) Per a calcular la probabilitat que una persona mesuri menys de 160 cm, hem de convertir aquesta mesura a una puntuació $z$ utilitzant la fórmula $z = \frac{x – \mu}{\sigma}$, on $x$ és la mesura, $\mu$ és la mitjana i $\sigma$ és la desviació estàndard. Així, tenim:

$$z = \frac{160 – 170}{10} = -1$$

A partir de la taula de distribució normal estàndard, podem trobar la probabilitat que una puntuació $z$ sigui menor que $-1$, que és $0.1587$. Per tant, la probabilitat que una persona de la població mesuri menys de 160 cm és del 15.87%.

Si volem calcular el nombre de persones que mesuren menys de 160 cm en una mostra de 1000 persones, simplement hem de multiplicar la probabilitat trobada per la grandària de la mostra:

$$1000 \cdot 0.1587 = 158.7$$

Per tant, es espera que hi hagi aproximadament 159 persones en la mostra que mesurin menys de 160 cm.

b) De manera similar, per a calcular la probabilitat que una persona mesuri més de 2 m, primer hem de convertir aquesta mesura a una puntuació $z$:

$$z = \frac{200 – 170}{10} = 3$$

A partir de la taula de distribució normal estàndard, podem trobar la probabilitat que una puntuació $z$ sigui més gran que $3$, que és $0.0013$. Per tant, la probabilitat que una persona de la població mesuri més de 2 m és del 0.13%.

Si volem calcular el nombre de persones que mesuren més de 2 m en una mostra de 1000 persones, simplement hem de multiplicar la probabilitat trobada per la grandària de la mostra:

$$1000 \cdot 0.0013 = 1.3$$

Per tant, es espera que hi hagi aproximadament $1$ o $2$ persones en la mostra que mesurin més de $2$ m.