Distribució binomial. Escaquistes

Dos escaquistes del mateix mestratge juguen als escacs. Què és més probable: que cadascú guanyi dues partides de quatre o tres partides de sis? (Els empats no es consideren.)

Per resoldre aquest problema, podem utilitzar la distribució binomial per calcular la probabilitat de guanyar una partida, i llavors utilitzar aquesta probabilitat per calcular la probabilitat de guanyar un nombre determinat de partides.

Per a una partida, la probabilitat de guanyar és $1/2$, ja que només hi ha dos resultats possibles: guanyar o perdre. Per tant, la probabilitat de perdre una partida també és $1/2$.

Per calcular la probabilitat que cada jugador guanyi exactament dues partides de quatre, podem utilitzar la distribució binomial amb $n = 4$ i $p = 1/2$:

$$P(guanyar 2 de 4) = C(4,2) \cdot (1/2)^2 \cdot (1/2)^2 = 6/16 = 0.375$$

On $C(4,2)$ representa el nombre de combinacions possibles per guanyar exactament dues partides de quatre.

Per calcular la probabilitat que cada jugador guanyi exactament tres partides de sis, podem utilitzar la distribució binomial amb $n = 6$ i $p = 1/2$:

$$P(guanyar 3 de 6) = C(6,3) \cdot (1/2)^3 \cdot (1/2)^3 = 20/64 = 0.3125$$

On $C(6,3)$ representa el nombre de combinacions possibles per guanyar exactament tres partides de sis.

Per tant, la probabilitat de que cada jugador guanyi exactament dues partides de quatre és més alta que la de guanyar exactament tres partides de sis.