Problema dels paquets de sucre. Distribució normal

El pes dels paquets de sucre en una determinada fàbrica segueix una distribució normal de mitjana $250$ i desviació típica $20$. Calcular: a. La probabilitat que un paquet pesi menys de $260$ grams. b La probabilitat que el pes total de $25$ paquets no superi els $6150$ grams.

a. La probabilitat que un paquet pesi menys de 260 grams es pot calcular utilitzant la funció de distribució acumulativa de la distribució normal:

$$P(X < 260) = \Phi \left( \frac{260-250}{20} \right) = \Phi(0.5) \approx 0.6915$$

On $\Phi$ és la funció de distribució acumulativa d’una distribució normal estàndard. Per tant, la probabilitat que un paquet pesi menys de 260 grams és aproximadament 0,6915.

b. La probabilitat que el pes total de 25 paquets no superi els 6150 grams es pot calcular utilitzant la distribució normal, ja que el pes total és la suma de 25 paquets independents i la mitjana i la desviació estàndard del pes total es poden calcular a partir de la mitjana i desviació estàndard d’un paquet. Primer, es calcula el valor z:

$$z = \frac{6150 – 250 \times 25}{20 \times \sqrt{25}} = -1$$

On 250 és la mitjana poblacional del pes dun paquet i 20 és la desviació estàndard poblacional del pes dun paquet. Després, es cerca el valor de probabilitat corresponent en una taula de distribució normal estàndard i s’obté:

$$P(Z < -1) \approx 0.1587$$

Per tant, la probabilitat que el pes total de 25 paquets no superi els 6.150 grams és aproximadament 0.1587.