Problema sobre les passes. Distribució normal

El nombre de passos realitzats pel professor Jaimito durant una hora de classe es modela amb una distribució normal de mitjana $100$ passos i desviació típica $20.5$ passos. a. Calcular la probabilitat que el professor faci més de $125$ passos durant una classe. b. Ens diuen que en el $45$% de les classes que fa el mestre fa menys de x passos. Troba aquest valor $x$.

a. Sigui $X$ la variable aleatòria que indica el nombre de passos que el professor Jaimito fa durant una hora de classe. Aleshores, $X$ segueix una distribució normal de mitjana $100$ i desviació típica $20.5$. Per calcular la probabilitat que el professor faci més de $125$ passos durant una classe, es calcula la probabilitat que $X$ sigui més gran que $125$ utilitzant la distribució normal estàndard:

$$Z=\frac{125-100}{20.5}=1.22$$

Consultant una taula de la distribució normal estàndard, es troba que la probabilitat que $Z$ sigui més gran que $1.22$ és d’aproximadament $0.111$. Per tant, la probabilitat que el professor faci més de $125$ passes durant una classe és de l’$11,1$% aproximadament.

b. Sigui I la variable aleatòria que indica el nombre de passos que el professor Jaimito fa durant una hora de classe i suposem que el 45% de les classes es fan amb menys de x passos. Aleshores, $P(Y < x) = 0.45$.

Per calcular $x$, primer normalitzem la variable $Y$ de la manera següent:

$$Z=\frac{I-100}{20.5}$$

La condició anterior es pot reescriure com:

$$P(Z < \frac{x-100}{20.5}) = 0.45$$

Consultant una taula de la distribució normal estàndard inversa, es troba que el valor crític que deixa una àrea de $0.45$ a l’esquerra és $-0,13$ aproximadament. Per tant, tenim:

$$-\frac{x-100}{20.5}=-0.13$$

Aclarint $x$, obtenim:

$$x \approx 97.335$$

Per tant, el valor de x és aproximadament de $97.34$ passos.