Problema de geometria mètrica

Troba la distància del punt $P(5,6,1)$ a la recta $$r:\frac{ x }{ 1 }=\frac{ y-1 }{ 1 }=\frac{ z+1 }{ 4 }$$

1. Expressem la recta amb l’equació paramètrica, escrivim la projecció $P^\prime$ en funció del paràmetre i exigim que el vector $\overrightarrow{ P^{\prime}P}$ sigui perpendicular al vector director de la recta, $\overrightarrow{ v }$. La recta que ens donen en forma paramètrica és: $$r: \begin{cases} x&=\lambda \\ y&=1+\lambda \\ z&=-1+4\lambda \end{cases}$$Per tant, qualsevol punt de la recta $r$, i $P^{\prime}$ en particular, tindrà la forma: $$P^{\prime}=(\lambda,1+\lambda,-1+4\lambda)$$Si calculem ara la distància entre $P$ i $P^{\prime}$ a través del mòdul del vector $|\overrightarrow{ P^{\prime}P}|$, tenim que: $$\overrightarrow{ P^{\prime}P}=(5-\lambda,6-1-\lambda,1+1-4\lambda)=(5-\lambda,5-\lambda,2-4\lambda)$$Alhora, aquest vector és perpendicular al vector director de la recta, $\overrightarrow{ v }=(1,1,4)$. Per tant, el seu producte escalar serà zero:$$\overrightarrow{ v }\cdot \overrightarrow{ P^{\prime}P }=1(5-\lambda)+1(5-\lambda)+4(2-4\lambda)=0 \rightarrow \lambda = 1$$Per tant, la projecció de $P$ sobre la recta $r$ és: $$\overrightarrow{ P^{\prime}}=(1,2,3)$$ i la distància del punt a la recta és: $$d(P,r)=|\overrightarrow{ P^{\prime}P}|=\sqrt{ (5-1)^2+(6-2)^2+(3-1)^2 }=6$$
2. Calculem la distància aplicant la fòrmula de la distància d’un punt $P$ a una recta $r$.
3. Calculem l’equació del pla $\pi$ perpendicular a $r$ que passa per $P$. La intersecció entre la recta i el pla serà necessàriament el punt $P^{\prime}$, la projecció de $P$ sobre la recta $r$.
4. Donat un punt $Q$ de la recta qualsevol, mirant el dibuix i aplicant la trigonometria, la distància entre $P$ i $P^{\prime}$, es pot calcular com: $$d(P,r)=|\overrightarrow{ P^{\prime}P }|=|\overrightarrow{ PQ }|\cdot \sin (\alpha)$$Si multipliquem i dividim l’expressió anterior pel mòdul del vector director de la recta, $|\overrightarrow{ v }|$ obtenim: $$d(P,r)=|\overrightarrow{ P^{\prime}P }|=\frac{|\overrightarrow{ PQ }|\cdot \sin (\alpha) \cdot |\overrightarrow{ v }|}{\overrightarrow{ v }}$$Si ens fixem, el numerador és el mòdul del producte vectorial dels vectors $\overrightarrow{ PQ }$ i $\overrightarrow{ v }$. Per tant, podem reescriure aquesta fórmula de la manera següent: $$\bbox[5px,border:2px solid black]{d(P,r)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ }\times \overrightarrow{ v }| }{ |\overrightarrow{ v }| }}$$ Si apliquem la fórmula en el nostre problema concret: $$P=(5,6,1),\qquad Q=(0,1,-1)\rightarrow \overrightarrow{ PQ }=(-5,-5,-2)$$ Hem agafat com a punt $Q$ el punt de l’equació contínua de la recta. Aplicant ara la fórmula: $$d(P,r)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ }\times \overrightarrow{ v }| }{ |\overrightarrow{ v }| }=\frac{ | (-5,-5,-2) \times (1,1,4)| }{ |(1,1,4)| }=\frac{ |(-18,18,0)| }{ \sqrt{1+1+16} }=\frac{ \sqrt{18^2+18^2} }{ \sqrt{18} }=6$$