Problema 4 examen de matemàtiques II 12 de juny de 2020

Troba la distància entre les rectes $$r:\frac{ x-1 }{ 2 }=\frac{ y }{ 1 }=\frac{ z-2 }{ 0 }\ \mathrm{i}\ s:\frac{ x }{ 1 }=\frac{ y }{ 1 }=\frac{ z -1 }{ 1 }$$

Posició relativa de les dues rectes

Agafem els $2$ vectors directors de $r$ i $s$, $\overrightarrow{ u }=(2,1,0)$ i $\overrightarrow{ v }=(1,1,1)$. Juntament amb un punt de $r$, $P=(1,0,2)$ i un punt de $s$, $Q=(0,0,1)$, creem el vector $\overrightarrow{ PQ }=(-1,0,-1)$. Amb aquests $3$ vectors, mirem quin és el determinant de la matriu $3×3$. Si aquest determinant és diferent de zero, voldrà dir que el rang és $3$ i les rectes es creuen:

$$\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=-2$$
Per tant, les rectes es creuen.

Considerem la recta $t$ perpendicular a $r$ i a $s$.

Aquesta recta tindrà de vector director $\overrightarrow{ w }$ que serà perpendicular alhora a $\overrightarrow{ u }$ i a $\overrightarrow{ v }$:

$$\overrightarrow{ w }=\begin{vmatrix}
i & j & k \\
2 & 1 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=(1,-2,1)$$
Trobem l’equació del pla $\pi$ que conté la recta $t$ i la recta $s$

Tenim $2$ vectors que pertanyen en aquest pla, el vector $\overrightarrow{ w }$ de $t$ i el vector $\overrightarrow{ v }$ de $s$. Només ens falta agafar un punt del pla per trobar-ne l’equació. Com a punt del pla podem agafar el punt $Q=(0,0,1)$ de $s$. Per tant, el pla tindrà com a equació:

$$\begin{vmatrix}
x-0 & 1 & 1 \\
y-0 & -2 & 1\\
z-1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=0 \rightarrow -3x+3z-3=0 \rightarrow x-z+1=0$$
Busquem la intersecció del pla $\pi$ amb la primera recta, $r$. Això ens donarà un punt, diguem-li $A$.

Expressem l’equació de $r$ de forma paramètrica i substituïm els valors de $x$, $y$ i $z$ en l’equació del pla:

$$r: \begin{cases} x&=1+2\lambda \ y&=\lambda \ z&=2 \end{cases}\rightarrow (1+2\lambda)-2+1=0 \rightarrow \lambda=0$$
Per tant, substituïnt el valor de \lambda a l’equació paramètrica de $r$ trobem que el punt $A$ té coordenades:

$$A=(1,0,2)$$
Que casualment coincideix amb $P$.

Trobem l’equació de la recta $t$:

$$\frac{ x-1 }{ 1 }=\frac{ y-0 }{ -2 }= \frac{ z-2 }{ 1 }$$
La distància entre les rectes $r$ i $s$ és la distància de $A$ a la recta $s$:

$$d(r,s)=d(P,s)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ }\times \overrightarrow{ v }| }{ |\overrightarrow{ v }| }=\frac{ |(-1,0,-1)\times (1,1,1)| }{ \sqrt{ 1+1+1 }}=\frac{ \sqrt{ 6 }}{ 3 }u \approx 0.82$$

Existeix també una fòrmula per a calcular la distància entre dues rectes que es creuen. Donades dues rectes $r$ i $s$ de vectors directors $\overrightarrow{ u }$ i $\overrightarrow{ v }$ respectivament, amb punts $P$ de $r$ i $Q$ de $s$, la distància entre les dues rectes es pot trobar amb l’expressió següent:

$$d(r,s)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ } \cdot (\overrightarrow{ u }\times \overrightarrow{ v })|}{ |\overrightarrow{ u }\times \overrightarrow{ v }| }$$
Manera 2

També podíem haver fet aquest problema d’una altra manera. Anem a veure-ho a sota.

Trobem l’equació d’un pla $\pi$ que conté la recta de sota, $s$ i és paral.lel a la recta de dalt, $r$. Per trobar-lo, com que les dues rectes ja hem comprovat prèviament que es creuen, agafo els $2$ vectors directors de $r$ i $s$ i el punt $Q$ de $s$:

$$\begin{vmatrix}
x-0 & 2 & 1 \\
y-0 & 1 & 1\\
z-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=0 \rightarrow x-2y+z-1=0$$
Per trobar la distància entre $r$ i $s$ només ens cal trobar la distància entre $P$ i la seva projecció ortogonal sobre el pla $\pi$, $P^{\prime}$. Per fer-ho, calculem la recta perpendicular al pla $\pi$ que passa per $P$, $t$. Aquesta tindrà vector director $$\overrightarrow{ w }=\overrightarrow{ n }=(1,-2,1)$$:

$$t:\begin{cases} x=1+\lambda \ y=-2 \lambda \ z= 2+ \lambda \end{cases}$$
El punt $P^{\prime}$ serà la intersecció entre $t$ i el pla $\pi$. Qualsevol punt de $t$ té la forma: $P^{\prime}=(1+\lambda,-2\lambda,2+\lambda)$. Si ho substituïm a l’equació de $\pi$:

$$(1+\lambda)-2(-2\lambda)+(2+\lambda)-1=0\rightarrow \lambda=-\frac{ 1 }{ 3 }$$
La distància entre les dues rectes serà el mòdul del vector $\overrightarrow{ PP^{\prime} }$:

$$P^{\prime}=\big( \frac{ 2 }{ 3 },\frac{ 2 }{ 3 },\frac{ 5 }{ 3 } \big) \rightarrow |\overrightarrow{ P P^{\prime} }|=\sqrt{ (\frac{ 2 }{ 3 }-1)^2+ (\frac{ 2 }{ 3 }-0)^2 + (\frac{ 5 }{ 3 }-2)^2 }=\frac{ \sqrt{ 6} }{ 3 }$$