Distribució normal. Estadi esportiu

Per il·luminar el recinte d’un estadi esportiu es volen instal·lar focus. El proveïdor assegura que el temps de vida dels focus és una variable normal amb mitjana de $1500$ hores i desviació típica de $200$ hores. a) Quina és la probabilitat que un focus escollit a l’atzar llueixi almenys $1000$ hores? b) Si es compren $2000$ focus, quant es pot esperar que llueixin almenys $1000$ hores?

a) Si el temps de vida dels focus segueix una distribució normal amb mitjana $1500$ hores i desviació típica $200$ hores, podem estandarditzar aquesta variable i calcular la probabilitat corresponent utilitzant una taula de distribució normal estàndard o una calculadora.

Primer, estandarditzem la variable $X$, que representa el temps de vida d’un focus triat a l’atzar:

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$

on $\mu$ és la mitjana de la distribució i $\sigma$ és la desviació típica.

En aquest cas, $X$ és el temps de vida d’un focus triat a l’atzar, $\mu = 1500$ i $\sigma = 200$. Volem calcular la probabilitat que $X$ sigui major o igual a $1000$:

$$P\left(X \geq 1000\right) = P\left(Z \geq \left(\frac{1000 – 1500}{200}\right)\right) = P\left(Z \geq -2.5\right)$$

Podem utilitzar una taula de distribució normal estàndard per trobar la probabilitat corresponent, que és aproximadament $0.9938$. Per tant, la probabilitat que un focus triat a l’atzar duri almenys $1000$ hores és d’aproximadament $0.9938$.

b) Si es compren $2000$ focus, el nombre esperat de focus que duraran almenys $1000$ hores serà el producte de la probabilitat que un focus duri almenys $1000$ hores (calculada a l’apartat a) i el nombre total de focus:

$$E(X) = n \cdot P(X \geq 1000) = 2000 \cdot 0.9938 = 1987.6$$

Per tant, podem esperar que al voltant de $1988$ focus durin almenys $1000$ hores.