Càlcul de la matriu inversa

Calcula la matriu inversa de: $$A= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 2\\ 1 & -1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Primer de tot haurem de comprovar si la matriu és invertible. Això vol dir essencialment que el determinant és diferent de zero:

$$|A|= \begin{vmatrix} 3 & 5 & 2\\ 1 & -1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} =-12+6-10+4+9-20=-23\ne 0$$

Per tant és invertible. Calculem els adjunts de tots els elements per trobar la matriu adjunta i llavors calcularem la seva transposta. $$A_{11}= + \begin{vmatrix} -1 & -1\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =-1 \qquad A_{12}= – \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{vmatrix} =-6 \qquad A_{13}= + \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{vmatrix} =5$$
$$A_{21}= – \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =-14 \qquad A_{22}= + \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 4 \end{vmatrix} =8 \qquad A_{23}= – \begin{vmatrix} 3 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix} =1$$
$$A_{31}= + \begin{vmatrix} 5 & 2\\ -1 & -1 \end{vmatrix} =-3 \qquad A_{32}= – \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =5 \qquad A_{33}= + \begin{vmatrix} 3 & 5\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-8 \qquad$$

Per tant, la matriu adjunta serà: $$Adj(A)= \begin{pmatrix} -1 & -6 & 5\\ -14 & 8 & 1\\ -3 & 5 & -8 \end{pmatrix}$$

Si la transposem obtenim: $$(Adj(A))^T= \begin{pmatrix} -1 & -14 & -3\\ -6 & 8 & 5\\ 5 & 1 & -8 \end{pmatrix}$$

Així doncs, la inversa de A serà: $$A^{-1}=\frac{(Adj(A))^T}{|A|}= \frac{ 1 }{ -23 } \begin{pmatrix} -1 & -14 & -3\\ -6 & 8 & 5\\ 5 & 1 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/23 & 14/23 & 3/23\\ 6/23 & -8/23 & -5/23\\ -5/23 & -1/23 & 8/23 \end{pmatrix}$$