Problema 5 examen matemàtiques CCSS 11 de juny de 2020

Es considera la funció $$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{x-5}{x-4} & si & x<3 \\ -x^2+7x-10 & si & x\geq 3\end{array}\right.$$

Estudiï la continuïtat i la derivabilitat de la funció. $f(x)$

La funció és derivable en $\RR-\{3\}$, i la seva derivada val:

$$f'(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{(x-4)^2} & si & x<3 \\ -2x+7 & si & x > 3
\end{array}
\right.$$

Vegem si és derivable en el punt $x=3$

$$\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3^-}f'(x) = \frac{1}{(3-4)^2}=\frac{1}{(-1)^2}=1 \\ \displaystyle\lim_{x\to 3^+}f'(x) = -2 \cdot 3 + 7 =1\end{array}\right.$$

Les derivades laterals coincideixen, per tant és derivable a $x=3$

En resum, $f(x)$ és derivable en tot $\RR$ y la seva derivada val:

$$f^{\prime}(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{(x-4)^2} & si & x<3 \\
-2x+7 & si & x \geq 3
\end{array}
\right.$$

Al ser derivable en $\RR$, també és contínua a tot $\RR$

Calculeu els punts de tall de la gràfica de $f(x)$ amb els eixos de coordenades.

Punts de tall del primer tros de la gràfica $y=\displaystyle\frac{x-5}{x-4}$

• Si $x=0 \longrightarrow y=\frac{0-5}{0-4}=\frac{5}{4}\longrightarrow$ Talla en el punt $\left(0, \frac{5}{4}\right)$
• Si $y=0 \longrightarrow 0=\frac{x-5}{x-4} \longrightarrow 0=x-4 \longrightarrow x=5$. El punt $(5,0)$ no està en el seu domini $x<3$

Punts de tall del segon tros $y=-x^2+7x-10$

• Si $x=0 \longrightarrow$ no pertany al seu domini $x \geq 3$
• Si $y=0 \longrightarrow 0=-x^2+7x-10$ $$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \displaystyle\frac{-7+3}{-2}=2\\ & \nearrow &\\ x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\displaystyle\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4 \cdot(-1)\cdot(-10)}}{2 \cdot(-1)}=\displaystyle\frac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \displaystyle\frac{-7-3}{-2}=5\end{array}$$
  
  La solució $x=5$ si ens val. Talla en el punt $(5,0)$

En resum, els punts de tall són: $\left(0, \frac{5}{4}\right)$ y $(5,0)$

Calculeu les asímptotes de $ f(x)$, en cas que n’hi hagi.

El segon tros $-x ^ 2 + 7x-10$ no té asímptotes (les funcions polinòmiques no tenen asímptotes).
el primer tros $\frac{x-5}{x-4}$ té asímptota vertical en $x = 4$ però està fora del seu domini $(x <3)$
$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x-5}{x-4} = 1$$
Té asímptota horitzontal $y = 1$ per l’esquerra.