demostració equació de segon grau

L’equació de segon grau té la forma general: $ax^2 + bx + c = 0$, on $a$, $b$ i $c$ són constants, i $a \neq 0$.

Passem per la demostració:

1. Comencem amb l’equació $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Fem servir la fórmula quadràtica per a les arrels: $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.
3. Per demostrar aquesta fórmula, podem començar amb l’equació original i completar el quadrat: $ax^2 + bx + c = 0$
   $a\left(x^2 + \displaystyle\frac{b}{a}x\right) = -c$
4. Ara, sumem i restem $\left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2$ a l’expressió dins del parèntesi per completar el quadrat: $a\left(x^2 + \displaystyle\frac{b}{a}x + \left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 – \left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2\right) = -c$
5. Simplifiquem: $a\left[\left(x + \displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 – \left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2\right] = -c$
6. Ara sumem $\left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2$ a ambdós costats de l’equació: $\left(x + \displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 = \displaystyle\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}$
7. Trenquem l’arrel quadrada: $x + \displaystyle\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\displaystyle\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}}$
8. Restem $\left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)$ a ambdós costats: $\left(x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\right)$

Així que hem arribat a la fórmula quadràtica per a les arrels de l’equació de segon grau.