LEMNISCATA
Matemàtiques
Sabem que $v = \ln y$ si derivem aquesta funció rerspecte a $y$, ens quedarà de la següent manera
$$\frac{dv}{dy} = \frac{1}{y}\longrightarrow \frac{dy}{dv} = y $$
i com sabem que $y = e^x$, llavors l’equació anterior ens queda com $\frac{dy}{dv} = e^x$
Aleshores:
$$y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{dx} = e^x\cdot\frac{dv}{dx}$$
Substituint en l’equació, ens queda:
$$e^v\frac{dv}{dx}+P(x)e^v = Q(x)e^v\cdot v \longrightarrow \frac{dv}{dx}+P(x) = Q(x)\cdot v$$
En aquest cas tenim: $P(x) = -4x$, $Q(x) =-\frac{2}{x}$
L’equació lineal resultant: $\frac{dv}{dx}+\frac{2}{x}\cdot v -4x = 0$
Homogènia: $\frac{dv}{dx}+\frac{2}{x} = 0$
És una equació diferencial de variables separables, aïllant ens queda com:
$$\frac{dv}{v} = -\frac{2}{x}dx\longrightarrow\ln v = -2\ln x+ \ln C\longrightarrow v = \frac{C}{x^2}$$
Sabem que una solució particular és: $v_p = \frac{C(x)}{x^2}$, i derivant $v_p$ en funció d’$x$ obtenim:
$$v_p’ = \frac{C'(x)\cdot x^2-2x\cdot C(x)}{x^4} = \frac{C'(x)\cdot x-2\cdot C(x)}{x^3}$$
substituïnt en l’equació lineal resultant, ens queda:
$$\frac{C'(x)\cdot x-2\cdot C(x)}{x^3}+\frac{2}{x}\cdot\frac{C}{x^2}-4x = 0$$
Arrenjant i simplificant l’equació anterior ens queda que:
$$C'(x) = 4x^3\longrightarrow C(x) = x^4$$
per tant, $v_p = x^2$
Així doncs la solució general de l’equació no homogènia serà:
$$v_p =\displaystyle \frac{C}{x^2}+x^2$$
desfent el canvi $y = e^x$ ens queda:
$$y =e^{\displaystyle\frac{C}{x^2}+x^2}$$