Xoc frontal de dues boles de billar

Dues boles de billar idèntiques xoquen frontalment amb velocitats de 6 m/s i −8 m/s, respectivament. Calculeu: a) Les velocitats de les boles després del xoc, sabent que el coeficient de restitució és 0,8. b) L’energia dissipada en el xoc, si cadascuna de les boles té una massa de 350 g.

Per resoldre el problema, fem servir les lleis de conservació del moment i el coeficient de restitució. Les dues boles tenen la mateixa massa (\(m = 350 \, \text{g} = 0,35 \, \text{kg}\)) i xoquen frontalment amb velocitats inicials \(u_1 = 6 \, \text{m/s}\) i \(u_2 = -8 \, \text{m/s}\). El coeficient de restitució és \(e = 0,8\).

a) Velocitats després del xoc

1. Conservació del moment: La quantitat de moviment total abans i després del xoc es conserva:\[m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2\]Com les masses són iguals, simplifiquem:\[u_1 + u_2 = v_1 + v_2\]Substituïm:\[6 + (-8) = v_1 + v_2 \implies -2 = v_1 + v_2 \quad (1)\]

2. Coeficient de restitució: El coeficient de restitució relaciona les velocitats relatives abans i després del xoc:\[e = \frac{v_2 – v_1}{u_1 – u_2}\]Substituïm \(e = 0,8\), \(u_1 = 6\), \(u_2 = -8\):\[0,8 = \frac{v_2 – v_1}{6 – (-8)} = \frac{v_2 – v_1}{14}\]\[v_2 – v_1 = 0,8 \cdot 14 = 11,2 \quad (2)\]

3. Resolució del sistema: Tenim el sistema d’equacions:\[v_1 + v_2 = -2 \quad (1)\]\[v_2 – v_1 = 11,2 \quad (2)\]Sumem (1) i (2):\[(v_1 + v_2) + (v_2 – v_1) = -2 + 11,2\]\[2 v_2 = 9,2 \implies v_2 = 4,6 \, \text{m/s}\] Substituïm \(v_2 = 4,6\) a (1):\[v_1 + 4,6 = -2 \implies v_1 = -2 – 4,6 = -6,6 \, \text{m/s}\]

Resposta: Les velocitats després del xoc són:\[v_1 = -6,6 \, \text{m/s}, \quad v_2 = 4,6 \, \text{m/s}\]

b) Energia dissipada en el xoc. L’energia dissipada és la diferència entre l’energia cinètica inicial i final:\[\Delta E = E_{c,\text{inicial}} – E_{c,\text{final}}\]

1. Energia cinètica inicial: \[E_{c,\text{inicial}} = \frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2\] Substituïm \(m = 0,35 \, \text{kg}\), \(u_1 = 6 \, \text{m/s}\), \(u_2 = -8 \, \text{m/s}\):\[E Tian_{c,\text{inicial}} = \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot 6^2 + \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot (-8)^2\]\[= \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot 36 + \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot 64\]\[= 0,175 \cdot 36 + 0,175 \cdot 64 = 6,3 + 11,2 = 17,5 \, \text{J}\]

2. Energia cinètica final: \[E_{c,\text{final}} = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2\]Substituïm \(v_1 = -6,6 \, \text{m/s}\), \(v_2 = 4,6 \, \text{m/s}\):\[E_{c,\text{final}} = \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot (-6,6)^2 + \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot 4,6^2\]\[= \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot 43,56 + \frac{1}{2} \cdot 0,35 \cdot 21,16\]\[= 0,175 \cdot 43,56 + 0,175 \cdot 21,16 = 7,623 + 3,703 = 11,326 \, \text{J}\]

3. Energia dissipada: \[\Delta E = 17,5 – 11,326 = 6,174 \, \text{J}\]

Resposta: L’energia dissipada en el xoc és: \[\Delta E = 6,17 \, \text{J}\]