Velocitat, Energia i Moment Angular d’un Satèl·lit en Òrbites Terrestres

Un satèl·lit artificial de 500 kg gira en una òrbita circular a 500 km d’altura sobre la superfície terrestre. Calcula: a) La seva velocitat. b) La seva energia total. c) L’energia necessària perquè, partint d’aquesta òrbita, es col·loqui en una altra òrbita circular a una altura de 10.000 km. d) En el procés, com canvia el seu moment angular? Dades: radi terrestre = \( 6,37 \cdot 10^6 \, \text{m} \); massa de la Terra: \( 5,98 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \); constant \( G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \).

Pas 1: Calculem els radis de les òrbites

• Radi de la Terra: \( R_T = 6,37 \cdot 10^6 \, \text{m} \).

• Òrbita inicial (a 500 km): \[r_1 = R_T + 500 \cdot 10^3 = 6,37 \cdot 10^6 + 5,0 \cdot 10^5 = 6,87 \cdot 10^6 \, \text{m}\]

• Òrbita final (a 10.000 km): \[r_2 = R_T + 10.000 \cdot 10^3 = 6,37 \cdot 10^6 + 1,0 \cdot 10^7 = 1,637 \cdot 10^7 \, \text{m}\]

a) Velocitat en l’òrbita inicial. Per a una òrbita circular, la força gravitacional iguala la força centrípeta: \[\frac{G M m}{r_1^2} = m \frac{v_1^2}{r_1} \implies v_1^2 = \frac{G M}{r_1}\] \[G M = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \approx 3,99 \cdot 10^{14} \, \text{m}^3/\text{s}^2\] \[v_1^2 = \frac{3,99 \cdot 10^{14}}{6,87 \cdot 10^6} \approx 5,81 \cdot 10^7\] \[v_1 \approx \sqrt{5,81 \cdot 10^7} \approx 7,62 \cdot 10^3 \, \text{m/s}\]

b) Energia total en l’òrbita inicial. L’energia total \( E \) en una òrbita circular és: \[E_1 = -\frac{G M m}{2 r_1}\] Substituint \( m = 500 \, \text{kg} \): \[E_1 = -\frac{3,99 \cdot 10^{14} \cdot 500}{2 \cdot 6,87 \cdot 10^6} = -\frac{1,995 \cdot 10^{17}}{1,374 \cdot 10^7} \approx -1,45 \cdot 10^{10} \, \text{J}\]

c) Energia necessària per canviar d’òrbita. Primer, calculem l’energia total en l’òrbita final: \[E_2 = -\frac{G M m}{2 r_2} = -\frac{3,99 \cdot 10^{14} \cdot 500}{2 \cdot 1,637 \cdot 10^7} \approx -\frac{1,995 \cdot 10^{17}}{3,274 \cdot 10^7} \approx -6,09 \cdot 10^9 \, \text{J}\] L’energia necessària és la diferència: \[\Delta E = E_2 – E_1 = -6,09 \cdot 10^9 – (-1,45 \cdot 10^{10}) \approx 8,41 \cdot 10^9 \, \text{J}\]

d) Canvi en el moment angular. El moment angular \( L \) en una òrbita circular és: \[L = m r v\] Calculem \( v_2 \) per a l’òrbita final: \[v_2^2 = \frac{G M}{r_2} = \frac{3,99 \cdot 10^{14}}{1,637 \cdot 10^7} \approx 2,44 \cdot 10^7\] \[v_2 \approx 4,94 \cdot 10^3 \, \text{m/s}\] Moment angular inicial: \[L_1 = m r_1 v_1 = 500 \cdot 6,87 \cdot 10^6 \cdot 7,62 \cdot 10^3 \approx 2,62 \cdot 10^{13} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}\] Moment angular final: \[L_2 = m r_2 v_2 = 500 \cdot 1,637 \cdot 10^7 \cdot 4,94 \cdot 10^3 \approx 4,04 \cdot 10^{13} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}\] El moment angular augmenta perquè el radi de l’òrbita és més gran, tot i que la velocitat disminueix.

Resposta final:

a) \( v_1 \approx 7,62 \cdot 10^3 \, \text{m/s} \).

b) \( E_1 \approx -1,45 \cdot 10^{10} \, \text{J} \).

c) \( \Delta E \approx 8,41 \cdot 10^9 \, \text{J} \).

d) El moment angular augmenta de \( 2,62 \cdot 10^{13} \) a \( 4,04 \cdot 10^{13} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s} \).