Velocitat d’escapament a la superfície de la Terra

Expreseu la velocitat d’escapament a la superfície de la Terra en termes del seu radi $R_T$ i de l’acceleració de la gravetat a la superfície terrestre $g_0$, i determineu el seu valor sabent que $R_T = 6370 \, \text{km}$.

La velocitat d’escapament és la velocitat mínima que ha de tenir una partícula perquè pugui escapar de l’atracció gravitatòria terrestre. Aplicant la conservació de l’energia: $$K_i + U_i = U_f$$

On:

• $K_i = \frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^2$ és l’energia cinètica inicial,
• $U_i = – \frac{G M_T m}{R_T}$ és l’energia potencial inicial,
• $U_f = 0$ energia potencial a l’infinit (velocitat final zero).

L’equació queda: $$\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^2 – \frac{G M_T m}{R_T} = 0$$

Despejant $$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T}}$$

Utilitzant la relació $G M_T = g_0 R_T^2$, obtenim: $$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 g_0 R_T}$$

Càlcul numèric:
Convertim $R_T$ a metres: $$R_T = 6370 \, \text{km} = 6,37 \times 10^{6} \, \text{m}$$

Calcul: $$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 6,37 \times 10^{6} \, \text{m}} = \sqrt{1,250 \times 10^{8}} = 11.200 \, \text{m/s}$$

Resposta final:
La velocitat d’escapament a la superfície de la Terra és aproximadament $11.200$ m/s.