Velocitat de l’aigua en una mànega i diàmetre d’una boquilla

Una mànega de jardí té un diàmetre interior de $16$ mm. La mànega pot omplir un recipient de $10$ L en $20$ s.
i) Quina és la velocitat de l’aigua a l’interior de la mànega?
ii) Quin diàmetre hauria de tenir una boquilla que s’adosés al final de la mànega perquè la velocitat de sortida de l’aigua fos $4$ vegades major que la velocitat al seu interior?

---

Dades inicials

• Diàmetre interior de la mànega: $16 \, \text{mm} = 0.016 \, \text{m}$, per tant, el radi és $r = \frac{0.016}{2} = 0.008 \, \text{m}$.
• Volum del recipient: $10 \, \text{L} = 0.01 \, \text{m}^3$.
• Temps per omplir el recipient: $20 \, \text{s}$.

---

i) Velocitat de l’aigua a l’interior de la mànega

La velocitat $v$ de l’aigua es pot trobar a partir del flux volumètric $Q$, que es calcula com:

$$Q = \frac{\text{Volum}}{\text{Temps}} = \frac{0.01}{20} = 0.0005 \, \text{m}^3/\text{s}$$

El flux també es pot expressar com:

$$Q = A \cdot v$$

On $A$ és l’àrea de la secció transversal de la mànega:

$$A = \pi r^2 = \pi (0.008)^2 = \pi \cdot 0.000064 \approx 3.14159 \cdot 0.000064 \approx 0.000201 \, \text{m}^2$$

Aïllant $v$:

$$v = \frac{Q}{A} = \frac{0.0005}{0.000201} \approx 2.49 \, \text{m/s}$$

Resposta i): La velocitat de l’aigua a l’interior de la mànega és aproximadament 2.49 m/s.

---

ii) Diàmetre de la boquilla perquè la velocitat sigui 4 vegades major

Si la velocitat de sortida ( v_{\text{boquilla}} ) ha de ser 4 vegades la velocitat a l’interior ($v = 2.49 \, \text{m/s}$):

$$v_{\text{boquilla}} = 4 \cdot 2.49 = 9.96 \, \text{m/s}$$

Pel principi de continuïtat (el flux $Q$ és constant):

$$A_{\text{mànega}} \cdot v_{\text{mànega}} = A_{\text{boquilla}} \cdot v_{\text{boquilla}}$$

L’àrea de la boquilla $A_{\text{boquilla}}$ és:

$$A_{\text{boquilla}} = \frac{A_{\text{mànega}} \cdot v_{\text{mànega}}}{v_{\text{boquilla}}}$$

Substituint:

$$A_{\text{boquilla}} = \frac{0.000201 \cdot 2.49}{9.96} \approx \frac{0.0005}{9.96} \approx 0.0000502 \, \text{m}^2$$

L’àrea de la boquilla també és $A_{\text{boquilla}} = \pi r_{\text{boquilla}}^2$. Aïllant el radi:

$$r_{\text{boquilla}} = \sqrt{\frac{A_{\text{boquilla}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{0.0000502}{3.14159}} \approx \sqrt{0.000016} \approx 0.004 \, \text{m}$$

El diàmetre és:

$$d_{\text{boquilla}} = 2 \cdot r_{\text{boquilla}} = 2 \cdot 0.004 = 0.008 \, \text{m} = 8 \, \text{mm}$$

Resposta ii): El diàmetre de la boquilla hauria de ser 8 mm.

---

Resposta final

• i) La velocitat de l’aigua a l’interior de la mànega és 2.49 m/s.
• ii) El diàmetre de la boquilla hauria de ser 8 mm.